ÁLGEBRA LINEAR I

FACULDADE ANHANGUERA DE RIBEIRÃO PRETO

ENGENHARIAS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO/ELÉTRICA

ÁLGEBRA LINEAR I

Grupo de Estudo:

Anderson Andrey – 3205499019

Davi Sibata – 3204501746

Fábio Poggi – 3203500867

Hélio Junior – 3201498271

Rafael Alencar – 3226043363

Vitor Cardoso – 3504594017

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Professor Marcos Benfica

Ribeirão Preto

Novembro – 2011

ETAPA 4

Aula-tema: Sistemas de Equações Lineares

Essa atividade é importante, pois focaliza a interpretação da situação-problema e sua modelagem matemática.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1 (Equipe)

Modele a situação problema escrevendo-a em forma de um sistema de equações lineares fazendo uso da Lei de Kirchhoff.

A Lei de Kirchhoff diz que:

1) Lei dos nós: A soma das intensidades de corrente que chegam a um nó é igual à soma das correntes que deixam o nó;

2) Lei das malhas: Percorrendo-se uma malha, num mesmo sentido, a soma algébrica das tensões encontradas em casa elemento do circuito é nula.

Logo, para o circuito dado, temos:

- Nós: A, C, D e F.

Aplicando a Lei dos nós:

A) i3 + i5 = i1  i5 = i1 - i3

C) i1 = i2 + i4  i4 = i1 - i2

D) i4 + i6 = i5

F) i2 = i3 + i6  i6 = i2 - i3

- Malhas: BCDAB (malha 1); CEFDC (malha 2) e FGHADF (malha 3).

Aplicando a Lei das Malhas, e substituindo os valores encontrados para i4, i5 e i6 acima, temos:

* malha 1:

2i1 - 10 + 4i4 + 2i5 = 0

2i1 - 10 +4 (i1 - i2) + 2 (i1 - i3) = 0

8i1 - 4i2 – 2i3 = 10

*malha 2:

3i2 + 1i2 + 2i6 - 4i4 = 0

3i2 + 1i2 + 2 (i2 - i3) - 4(i1 – i2) = 0

3i2 + 1i2 + 2i2 - 2i3 – 4i1 - 4i2 = 0

-4i1 + 10i2 - 2i3 = 0

* malha 3:

-4 +3i3 + 3i3 - 2i5 - 2i6 = 0

-4 +3i3 + 3i3 - 2 (i1 - i3) - 2 (i2 - i3) = 0

-4 +3i3 + 3i3 - 2i1 + 2i3 - 2i2 + 2i3 = 0

-2i1 -2i2 +10i3 = 4

Temos assim três equações, com três incógnitas, que nos permite escrever o seguinte sistema linear de equações:

8i1 - 4i2 – 2i3 = 10

-4i1 + 10i2 - 2i3 = 0

-2i1 -2i2 +10i3 = 4

PASSO 2 (Equipe)

Determine a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada desse sistema linear.

- matriz dos coeficientes das variáveis:

M =

- matriz ampliada:

Ma =

ETAPA 5

Aula-tema: Equações Lineares: Regra de Cramer.

Esta etapa é importante, pois você aplicará a teoria sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, vista nas etapas anteriores, na resolução da situação-problema. É nesta etapa que você encontrará o resultado da situação problema.

Para realizá-los, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1 (Equipe)

Leia sobre o método de resolução de sistemas lineares: Regra de Cramer no livro auxiliar que você escolheu no Passo 2 da Etapa 1. Discuta com o grupo qual a restrição desse método de resolução de sistemas lineares.

O Teorema de Cramer diz que todo sistema normal é possível (admite pelo menos uma solução) e determinado (possui uma única solução). Um sistema normal é todo aquele de n equações e de n incógnitas que apresenta determinante do sistema não nulo (D  0 ).

A Regra de Cramer só pode ser usada em sistemas que apresentam matriz incompleta (matriz dos coeficientes das variáveis) quadrada. Além disso, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero.

PASSO 2 (Equipe)

Discuta com o grupo qual a condição sobre o determinante da matriz incompleta do sistema linear para que ele possua solução única.

O uso da Regra de Cramer exige que o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis seja diferente de zero (det M  0). Assim, se o determinante desta matriz for igual a zero não será possível a resolução do sistema de equações lineares por este método.

PASSO 3 (Equipe)

Calcule o determinante da matriz incompleta do sistema linear que descreve a situação-problema e conclua se esse sistema linear possui ou não solução única.

Como o determinante da matriz incompleta é diferente de zero, então ele possui uma única solução (é determinado).

PASSO 4 (Equipe)

Use a Regra de Cramer para resolver o sistema linear