Álgebra LInear

Matrizes – Introdução

Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores são dispostos em linhas e colunas. Onde por exemplo, podemos por meio de matrizes colocar dados referentes à altura, peso e idade. A diferença fundamental entre uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam facilitados.

Os elementos de uma matriz também podem ser representados por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz. Cada um dos seus elementos tem dois índices (aij). O primeiro índice i a linha e o segundo índice j a coluna. O número de linhas e colunas que uma matriz é chamada de dimensão de matriz. A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão m x n (m por n) e a representamos por A= (aij) m x n. Quando o número de linhas é igual ao número de colunas dizemos que a matriz é de ordem n e a chamamos de matriz quadrada.

As matrizes são representadas por letras maiúsculas enquanto os termos que as compõem serão representadas por letras minúsculas seguidas por dois índices que representam a posição de cada termo na matriz. O primeiro índice de cada termo representará a linha que o termo está posicionado enquanto o segundo índice representará a coluna. Seguindo esta lei de formação de matrizes, é direta a conclusão de que a matriz anteriormente exposta é conforme já dito, composta de m linhas e n colunas, sendo todos os termos da última linha representados na forma am * e todos os termos da última coluna representados por a*n.

Podemos dizer que quando m ≠ n a matriz será chamada de retangular. Um caso particular ocorrerá quando m = n e a matriz será chamada de quadrada. Arranjos numéricos formados apenas por uma única linha ou coluna serão chamados respectivamente de vetor linha e de vetor coluna.

Operações com Matrizes (+, -, x)

As matrizes envolvidas na adição devem ser sempre da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem. Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11. Dada a matriz:

5 7 -1

A = 6 0 -3

-4 3 0 3x3 e a matriz

0 3 -5

B = 2 0 0

-1 -5 3 3x3, se somarmos A + B, teremos:

5 7 -1 0 3 -5 5 10 -6

6 0 -3 + 2 0 0 = 8 0 -3

-4 3 0 -1 -5 3 -5 -2 3 3x3

Observe os elementos em destaques: a13 = -1 e b13 = -5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1-5 = -6. O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 + b32. Pois, 3 + (-5) = 3-5 = -2. Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

Podemos abranger as propriedades da adição de matrizes, considerando matrizes de mesma ordem, são válidas as seguintes propriedades a seguir:

Comutativa: A+B = B+A

Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C

Elemento Simétrico ou Oposto: A+(-A) = (-A)+A = 0

Elemento Neutro: A+0 = 0+A = A

Transposta da Soma: (A+B)T = AT+BT

Exercícios - 1) Determine o resultado das matrizes abaixo, conforme as propriedades acima.

A = -3 5 2 B = -8 -9 12 C = 3 6 -4

6 4 8 45 6 -3 5 9 -3

a) Comutativa = -3 5 2 -8 -9 12 -8 -9 12 -3 5 2 -11 -4 14

6 4 8 + 45 6 -3 = 45 6 -3 + 6 4 8 = 51 10 5

b) Associativa = -3 5 2 -8 -9 12 3 6 -4 -3 5 2 -8 -9 12

6 4 8 + 45 6 -3 + 5 9 -3 = 6 4 8 + 45 6 -3 +

3 6 -4 -8 2 10

5 9 -3 = 56 19 2

c) Elemento Simétrico = -3 5 2 -(-3) -5 -2 -(-3) -5 -2 -3 5 2

ou Oposto 6 4 8 + -6 -4 -8 = -6 -4 -8 + 6 4 8

0 0 0

= 0 0 0

d) Elemento = -3 5 2 0 0 0 0 0 0 -3 5 2 -3 5 2

Neutro 6 4 8 + 0 0 0 = 0 0 0 + 6 4 8 = 6 4 8

e) Transposta = -3 5 2 -8 -9 12 T -3 6 T -8 45 T -11 -4 14 T

da Soma 6 4 8 + 45 6 -3 = 5 4 + -9 6 = 51 10 5

2 8 12 -3

-11 51 T

= -4 10

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As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. Assim, se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A - B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos