Álgebra Linear

Curso: ENGENHARIA MECÂNICA

Disciplina: Álgebra Linear

ETAPA 1: MATRIZES

PASSO 1: Álgebra linear, Boldrini

PASSO 2/3: As principais matrizes que nosso grupo escolheu, foram as Matrizes Diagonais, Matrizes Escalares, Matrizes em Linha e Matriz em Coluna.

PASSO 4:

Matriz Diagonal, é a matriz quadrada que tem os elementos aij = 0.

a11 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ann

Matriz Escalar, é toda matriz diagonal que tem seus elementos aij iguais i=j.

3 0 0

0 3 0

0 0 3

Matriz Linha, toda matriz de ordem 1 por n, ou seja i = 1;j = n, as matrizes em linha são denominadas de vetor-linha.

a1 a2 a3 ... an

Matriz Coluna, a matriz coluna é o inverso da matriz linha onde a ordem é i=n;j=1, as matrizes em coluna são denominadas de vetor-coluna.

a1

a2

a3

...

an

ETAPA 2: MATRIZES E DETERMINANTES

PASSO 1: Um determinante de uma matriz quadrada é a soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando as permutações dos índices do termo principal, a ordem de um determinante é conforme a ordem da matriz que ele corresponde, assim, se a matriz é de ordem três, seu determinante será de ordem três.

PASSO 2:

2 3 5 2 3 2 7

5 1 2 5 1 3 5

6 2 1 6 2

- - -/+ + +

D = +(2+36+50) –(15+8+30) D = 2 x 5 - 7 x 3

D = (2+36+50-15-8-30) D = 10 – 21

D = 35 D = -11

PASSO 3: Das diversas propriedades dos determinantes destacamos essas que dizem que, o determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas.

Ex:

2 5

3 7 = 2x7 – 3x5 = 14 -15 = -1

2 3

5 7 = 2x7 – 5x3 = 14-15 = -1

Destacamos também a que se diz que se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz forem nulos, o determinante é nulo.

Ex:

0 0 0

det A= 5 4 1 = 0x 4 1 -0 x 5 1 +0 x 5 4 = 0-0+0 = 0

3 2 7 2 7 3 7 3 2

Destacamos também o que se diz que se uma matriz A tem duas linhas ou duas colunas iguais, seu determinante também é nulo.

Ex:

det A = 5 5 2 = 5x 3 1 = -5x 3 1 = +2x 3 3

3 3 1 4 6 4 6 4 4

4 4 6

det A = 5(3x6 – 1x4) – 5(3x6 – 1x4) + 2(3x4 – 3x4)

det A = 5(18 – 4) – 5(18 – 4) + 2(12 – 12)

det A = 5 x 14 – 5 x 14 + 2 x 0

det A = 70 – 70 + 0

det A = 0

ETAPA 3: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

PASSO 1/2: Equação linear é uma equação da forma a1x1+a 2x2+a3x3+anxn = b

onde x1, x2, x3, ..., xn são variáveis, a1, a 2, a3, ..., na são respectivos coeficientes das variáveis , e b é o termo independente, oque constitui sua solução são os valores de suas variáveis que a transformam uma equação linear em identidade, esses valores são as raízes da equação; sistema de equação linear nada mais é, do que simplesmente um conjunto de equações lineares, no qual o valor das variáveis das equações lineares que a transforma em identidade, continuam sendo sua solução, essas valores nesse caso são chamadas de raízes de sistemas de equações lineares.

PASSO 3: Os métodos para resolução dos sistemas lineares que conhecemos no PLT, são o método de Gauss-Jordan e o método da matriz inversa, no método Gauss-Jordan, sua solução é transformar em sistema equivalente um sistema de equação linear até sua solução; na matriz inversa consideramos que seja o sistema de n equações lineares com n variáveis, o sistema pode ser escrito sob a forma matricial, ou utilizando a notação abreviada Ax = B, admitindo a existência da matriz A-¹ e pré-multiplicando os membros da igualdade por A-¹ temos A-¹ AX = A-¹B, mas: A-¹ A = I, logo: IX = A-¹B, mas: IX = X, logo: X = A-¹B. A solução é bastante simples basta multiplicar a matriz inversa A-¹ da matriz A dos coeficientes das variáveis pela matriz-coluna B dos termos independentes.

PASSO 4: Quando falamos de matriz ampliada de um sistema de n equações lineares e n variáveis para a solução, quando se transforma no número 1, por meio de operações adequadas cada elemento aij , para i = j (a11, a22, ...), e em zeros os demais elementos das colunas em que se situam esses elementos aij diz-se que a matriz inicial foi transformada numa matriz em forma de escada. A matriz ampliada do sistema será designada por A e a matriz em forma de escada por B. já a matriz dos coeficientes das variáveis é transformada