Álgebra linear

Álgebra linear

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como espaços vetoriais e Matriz.

Matrizes

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz

[4 7 -3 1] 1 x 4

Matriz coluna: essa matriz recebe o nome de matriz coluna pelo fato de possuir apenas uma coluna, o número de linhas e independentes:

5 x 1

Matriz nula: essa matriz é conhecida como matriz nula, pois independente de seus números de linhas e colunas, todos os seus elementos são zero. Por exemplo:

Matriz quadrada: é aquela que o números de linhas é o mesmo de colunas. Por exemplo:

Matriz diagonal: Quando a matriz é quadrada podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

Matriz identidade: Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Por exemplo:

Matriz oposta: Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos. Por exemplo:

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Operações envolvendo matrizes

Adição: Dadas as matrizes, A=[aij]2x2 e B=[aij] 2x2 chamamos de soma dessas matrizes a matriz C=[aij] 2x2. Exemplo:

A + B = C

Observação: A + B existe se, somente, A e B possuírem o mesmo numero de linhas e colunas.

Subtração

Dadas as matrizes, A= [aij] e B= [aij], chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B. Exemplo: A - B = A + ( - B )

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo 2 x 2, o produto de x por A é uma matriz B do tipo n x m obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x. B = x.A

Exemplo:

Multiplicação de matrizes

Temos que multiplica cada linha da matriz A, por cada coluna da matriz B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada C

1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

• 2ª linha e 2ª coluna

Assim,

Observe que:

Espaços vetoriais

Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V → V, e multiplicação por escalar, R X V → V, tais que, para Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello [e-mail] multiplicação por escalar, R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas: Espaços V.

Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial

Espaço vetorial é um termo genérico que pode ser designado para representar diferentes tipos de conjuntos.

O resultado de um espaço vetorial devem respeita os seguintes axiomas:

1° axioma- Comutatividade

U + v= v + u

2° axioma- Associatividade

(u + v)+W= u(v + W)

(a.b).u= a(b.u)

3° axioma- Valor nulo

Tem que existir 0 pertencente a E

U+0= u para todo U pertencente a E

4° axioma- Inverso aditivo

Tem que existi X pertencente a E

U + x= 0 para todo U pertencente a E

a diferenças do axioma inverso aditivo pra o nulo, é que o 0 no nulo aparece automaticamente

e no axioma inverso aditivo o x tem a micção de anula qualquer soma (-x)

5° axioma- Distributividade

(a + b).u= a.u + b.u

a(u + b)= a.u + a.u

6°axioma- Multiplicação por 1 elemento neutro

1.U= u

Todos esses axiomas são derivados da lógica inerente aos números naturais, como os axiomas de Plano. Estudar ou não essa profundidade, varia de acordo com a sua necessidade de conhecimento.

Geometria Analítica

A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra.

Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes