Álgebra linear

Álgebra Linear

5ª Lista de Exercícios – Revisão para Provas

1 – (AFA 2003) Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes e . Qual a relação necessária entre m e n para que a matriz não seja inversível.

Solução. Multiplicando os escalares “m” e “n” pelas respectivas matrizes, temos:

i)

Para que a matriz C não seja inversível, seu determinante deve ser nulo.

ii) . Desenvolvendo a expressão e simplificando, temos: . Resolvendo a equação em relação a “m”, vem.

. Como pelo enunciado m ≠ n, a matriz não será inversível se 7m + n = 0.

2 – Encontre o valor de x na matriz sabendo que det A-1 = .

Solução. Como conclui-se que . Logo, detA = - 10. Substituindo esse valor no cálculo do determinante de A, temos:

3 – Seja A-1 a inversa de . Determine A + A-1.

Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa.

4 – (UC – GO) Determine x a fim de que a matriz seja igual a sua inversa.

Solução. O produto da matriz A por ela mesma deverá resultar na matriz identidade.

.

Logo, o único valor que satisfaz é x = - 1.

5 – Sabendo que e , encontre o valor de:

a) 20 b) - 100 c) 40 d) - 60

Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:

a) A 1ª linha foi multiplicada por 5. Logo o determinante também ficará multiplicado por 5.

b) Houve uma troca de coluna que mudará o sinal do determinante. As duas linhas foram multiplicadas por 5. Logo o determinante ficará multiplicado por 25.

c) Houve a troca da 2ª coluna com a 1ª coluna mudando o sinal do determinante. A 3ª coluna foi multiplicada por 4. Logo o determinante também o ficará.

d) A 2ª linha foi multiplicada por 2 e a 3º linha multiplicada por 3. Logo o determinante ficará multiplicado por (2).(3) = 6.

5 – Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções.

a) b)

Solução. Os sistemas podem ser resolvidos por qualquer método.

a)

Logo, . Sistema possível e determinado representado por retas concorrentes.

b) . Retas paralelas distintas.

6 – Determine o valor de a para que o sistema seja possível e determinado (SPD).

Solução. O determinante da matriz dos coeficientes deverá ser diferente de zero.

.

7 - Determine o valor de k de modo que o sistema seja impossível (SI). Isto é, para que a representação geométrica da solução sejam retas paralelas distintas.

Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SI), basta que se verifique a proporcionalidade entre os coeficientes de “x” e “y”, mas não em relação aos termos independentes. Isto é:

.

Qualquer valor de “k” que não seja 4, tornará o sistema impossível.

8 – Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k.

a) b)

Solução. No caso geral em sistemas 2 x 2 a análise pode ser feita partindo das situações:

i) ii) iii)

a) . Não há valor de “k” que o torne impossível.

b) . Não há valor de “k” que o torne indeterminado.

OBS. Repare que em (a) o termo independente já estava na mesma razão que os coeficientes de “y”. O que não ocorreu em (b). Isso acarreta que substituindo k = 8 no sistema (b) poderia haver a impossibilidade. Mas esse sistema não seria indeterminado para nenhum valor de “k”.

9) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.

a) b) c) d)

Solução. Os sistemas foram escalonados.

a) . Calculando o valor de z, temos: ; ; .

Logo a solução é S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado.

b) . Calculando o valor de z, temos: ; ; .

Logo a solução é S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado.

c) . Logo o sistema não possui solução.

d) . Calculando o valor de y, temos: ; . A variável z é chamada variável livre.

Logo a solução é S = { , , }. O sistema é possível e indeterminado.

10 – (ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o sistema admita infinitas soluções.

Solução. Escalonando o sistema: .

Para que o sistema seja indeterminado o 2º membro da 3ª equação deve ser nulo. Logo, .

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