Algebra Linear

Índice:

(Etapa 2);

- Definição de Equação Linear e de Sistema de Equação Linear;

- Definição de Solução de Equação Linear e de Sistema de Equação Linear;

- Classificação de Sistemas Lineares (quanto ao número de soluções);

- Definição de Matriz dos Coeficientes das variáveis e de Matriz Ampliada de um Sistema Linear;

- Lei de Kirchhoff (sistema de equações lineares);

- Determinar matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada de um sistema linear;

(Etapa 3);

- Regra de Cramer;

- Determinante da Matriz Incompleta do Sistema Linear para que ele possua solução única;

- Cálculo do Determinante da Matriz Incompleta do Sistema Linear

- Cálculo com uso da Regra de Cramer;

Definição de Equação Linear e de Sistema de Equação Linear

Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de termos que são constantes ou o produto de uma constante pela primeira potência de uma variável.

Conforme a natureza do problema que dá origem a equação, as constantes e as variáveis podem ser números inteiros, reais, complexos ou ter uma estrutura ainda mais geral.

Definição de uma equação linear:

Uma equação linear em variáveis sobre o corpo é uma equação que pode ser colocada na forma , sendo que os escalares são denominados coeficientes, e é chamado de termo independente, ou termo constante.

Definição de um sistema de equação linear:

Um sistema de equações lineares (ou sistema linear) é uma coleção de equações lineares envolvendo o mesmo conjunto de variáveis.

Um sistema geral de equações lineares com incógnitas (ou variáveis) pode ser escrito como

Aqui, são as incógnitas, são os coeficientes do sistema, e são os termos constantes.

Definição de Solução de Equação Linear e de Sistema de Equação Linear

Definição de Solução de Equação Linear:

Uma solução da equação linear é uma -upla (um vetor) , cujas entradas podem ser colocadas no lugar de cada , para , de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto solução de uma equação linear é aquele formado por todas as suas soluções.

Por exemplo, é uma solução da equação linear , uma vez que

Definição de Solução de Sistema de Equação Linear:

Uma solução de um sistema linear é uma -upla de valores que simultâneamente satisfazem todas as equações do sistema.

Exemplo:

- tem como sua solução .

- não tem qualquer solução, pois não existem números e cuja soma seja 2, e ao mesmo tempo seja nula.

Classificação de Sistemas Lineares (quanto ao número de soluções)

Um sistema linear é dito consistente se possui alguma solução. Caso contrário, é chamado de inconsistente.

Em geral, para qualquer sistema linear existem três possibilidades a respeito das soluções:

• Uma única solução: Neste caso, existe apenas uma solução específica (uma certa -upla). O conjunto tem um único elemento. Geometricamente, isto implica que os -planos determinados pelas equações do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do espaço, que é especificado pelas coordenadas da solução (as "entradas" da -upla). O sistema é dito possível (existe alguma solução) e determinado (existe uma única solução);

• Nenhuma solução: Nesta situação, não existe qualquer -upla de valores que verifiquem simultaneamente todas as equações do sistema. O conjunto é vazio. Geometricamente, os -planos correspondentes as equações não se intersectam (são paralelos). O sistema é dito impossível (não existe solução).

• Infinitas soluções: As equações especificam -planos cuja intersecção é um -plano onde . Sendo este o caso, é possível explicitar um conjunto com infinitas soluções. O sistema é dito possível (existe alguma solução) e indeterminado (sua quantidade é infinita)

Definição de Matriz dos Coeficientes das variáveis e de Matriz Ampliada de um Sistema Linear

A matriz ampliada do sistema é a matriz formada pelos coeficientes das variáveis à qual se acrescentam os termos independentes.

Lei de Kirchhoff (sistema de equações lineares)

Vejamos agora as duas leis formuladas por Kirchhoff

Lei (Lei dos Nós): A soma das correntes que entram em qualquer nó é igual a soma que saem dele.

Lei (Lei da Voltagem): A soma das quedas de voltagem ao longo de qualquer circuito é igual à voltagem total em torno do circuito fornecida pela bateria.

Usaremos essas leis e as técnicas de resolução de sistemas lineares para determinar as correntes em um circuito elétrico.

Exemplo 1: Determine as correntes , e no circuito elétrico abaixo:

Resolução: Pela lei dos nós, temos

Das expressões , e , obtemos o sistema linear

Matriz