A Algebra Linear

Vetor

Reta Orientada

- Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta. O sentido oposto é o negativo.

- Uma reta orientada é denominada eixo.

[pic 1]

Segmento Orientado

- É um par ordenado (A,B) de pontos do espaço.

        - O primeiro (A) é chamado de origem e o segundo (B) de extremidade do ponto orientado.

        - Se A ≠ B, então (A,B) é diferente de (B,A).

- O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento.

[pic 2]

A) SEGMENTOS ORIENTADOS COM MESMO COMPRIMENTO

- Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais.

B) SEGMENTOS ORIENTADOS COM MESMA DIREÇÃO

- Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm a mesma direção se os segmentos geométricos AB e CD são paralelos ou colineares.

C) SEGMENTOS ORIENTADOS COM MESMO SENTIDO

- Suponhamos que (A,B) e (C,D) sejam paralelos:

        - Se as retas AB e CD são distintas, os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo sentido se os segmentos geométricos AC e BD têm interseção vazia. Se não, (A,B) e (C,D) são de sentido contrário.

[pic 3]

        - Se as retas AB e CD coincidem, tomemos (E,F) tal que E não pertença à reta AB, e (E,F) e (A,B) sejam de mesmo sentido. Então, os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo sentido e (E,F) e (C,D) são de mesmo sentido. Se não, (A,B) e (C,D) são de sentidos contrários.

[pic 4]

Segmento Nulo

- É aquele cuja extremidade coincide com a origem.

Segmentos Opostos

- Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.

Segmentos Equipolentes

- Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

- Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC//BD.

- Observações

        - Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.

        - A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por .[pic 5]

- Propriedades da Equipolência

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[pic 9]

- Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) é o conjunto de todos os segmentos orientados a (A,B). O segmento orientado (A,B) é chamado representante da classe.

Vetor

- Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados.

- Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será indicado por .[pic 10]

- Quando não se quer destacar nenhum representante em especial, usam-se letras latinas minúsculas com uma seta (). O conjunto de todos os vetores será indicado por V³.[pic 11]

- Vetores Iguais

- Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, [pic 12]

- Vetor Nulo

- Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por .[pic 13]

- Vetores Opostos

- Dado um vetor , o vetor  é o oposto de  e se indica por  ou por .[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

- Vetor Unitário

- Um vetor  é unitário se [pic 19][pic 20]

- Versor

- Versor de um vetor não nulo  é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de  [pic 21][pic 22]

- Versor é o vetor dividido pela sua norma  [pic 23]

- Vetores Colineares 

- Dois vetores  e  são colineares se tiverem a mesma direção[pic 24][pic 25]

- Vetores Coplanares 

- Se os vetores não-nulos  e  (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano, diz-se que eles são coplanares[pic 26][pic 27]

- Vetores Paralelos

- Os vetores não-nulos  e  são paralelos se um representante de  é paralelo a um representante de  (neste caso, qualquer representante de um dos vetores é paralelo a qualquer representado do outro). Indica-se por .[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

- Os vetores não-nulos e paralelos  e  são de mesmo sentido se um representante de  e um de  são de mesmo sentido.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

- Os vetores não-nulos e paralelos  e  são de sentido contrário se um representante de  e um de  são de sentido contrário[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

- O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor

Norma de um vetor

- É o módulo ou comprimento de qualquer um de seus representantes

- A norma do vetor  é indicada por [pic 41][pic 42]

- Um vetor é unitário se sua norma é 1

- Sejam  e vetores não-nulos. Então  se, e somente se,  e  tem normas iguais, são de mesma direção e de mesmo sentido.[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

Soma de Vetores

- Dados  e , sejam (A,B) um representado qualquer de  e (B,C) o representado de   que tem origem B. O vetor soma de  com , indicado por , é o vetor que tem (A,C) por representado: [pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]