A Algebra Linear

RESUMO

Este trabalho tem como fundamento demostrar as resoluções e definições de matrizes e determinantes e suas variadas formas de serem resolvidas. Através da ATPS temos como adquirir maior aprendizado e desenvoltura, pois desenvolvemos também o conhecimento de sermos auto ditadas.


INTRODUÇÃO

Nessa ATPS de Álgebra Linear, serão mostrados três etapas. Iremos abordar os temas de Matrizes e Determinantes.

ETAPA 1: MATRIZES

Passo 1.

Decidimos utilizar dois livros para apoio ao desenvolvimento dessa ATPS. Utilizamos o PLT, conforme instrução do professor e também um livro que possuiamos em minha posse MACHADO, Trajano Couto. Vetores e Geometria Analítica. Yangraf Gráfica e Editora LTDA, 2005.

Apesar de o livro ter 10 anos que foi escrito a linguagem é de fácil entendimento e os exercícios de simples compreensão.

Passo 2.

Foi analisado as definições de Matrizes, conforme o PLT.

Passo 3.

Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas. Por exemplo, podemos colocar os dados referentes a altura, peso e idade de uma família de cinco pessoas como descritos na tabela abaixo:

 

	altura (metros)	peso  (quilogramas	Idade (anos)
Luiz (pai)	1,87	86	62
Angela (mãe)	1,65	60	58
Carol (irmã)	1,66	80	31
Stefanie (irmã)	1,80	55	24
Luiza (irmã)	1,67	82	26

 

Cada um dos seus elementos tem dois índices (ai j). O primeiro índice i indica à linha e o segundo índice j a coluna.  O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama  dimensão da matriz. A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão   m x n (m por n) e a representamos por A = (ai j) m x n.    Quando o número de linhas é igual ao número de colunas  dizemos que a matriz é de ordem n  e a chamamos de matriz quadrada. 

[pic 1]

Passo 4.

Matriz Linha: Toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente.

[pic 2]

Matriz Coluna: Toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente.

[pic 3]

Matriz Nula: Toda matriz que independente do número de linhas ou colunas, tenham seus elementos como nulos.

[pic 4]

Matriz Quadrada: Toda matriz que tenha o mesmo número de linhas e colunas. Na matriz quadrada temos duas diagonais a diagonal principal e a secundaria.

[pic 5]                [pic 6]

Matriz Idendidade:  Para que uma mariz seja identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertence a diagonal principal devem ser iguais a ! e o restante dos elementos serem 0.

[pic 7]

Matriz Oposta: Dada a matriz B, a matriz oposta dela é –B.

[pic 8][pic 9]

ETAPA 2: MATRIZES E DETERMINANTES

Passo 1.

É uma função que associa um número real a uma matriz quadrada de acordo a uma definição dada.

[pic 10]

Notação: detA, det(A), |A|, det(aij)

Passo 2.

Matriz de ordem 2 x 2

|7  0|

|9  1|

7*1 – 0*9 = detA= 7

Matriz de ordem 3 x 3

|-7  6  1| |-7  6|

|8  9  -2| | 8  9|

|-4 -5  3| |-4 -5|

(-7)*9*(-2) + 6*(-2)*(-4) + 1*8*(-5) - 6*8*3  - (-7)*(-2)*5 - 1*9*(-4) = detA= -219

Passo 3.

As propriedades abaixo devem ser levadas em conta quando se pensar em determinante de matriz. São elas:

1ª propriedade: Se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinante será zero.

[pic 11]

2ª propriedade: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero.

[pic 12]

3ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior.

[pic 13] 

det = 8 – 15       det = 15 – 8

det = -7              det = -7

4ª propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma  linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k. Consequência da propriedade:

[pic 14] onde n é a ordem da matriz.

Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A).

det (2A) = 23 . det A

det (2A) = 8 . 5

det (2A) = 40

5ª propriedade: O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta.

[pic 15]

6ª propriedade: O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A

[pic 16]

7ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

[pic 17]

det = (-3) . 2 . 4 . 2

det = - 48

8ª propriedade: Teorema de Binet Sendo A e B duas matrizes quadradas temos que:       det (A.B) = det A . det B.

[pic 18]