A Algebra Linear - Cefet-RJ

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Questão 45:

Se 2a + b e b - a representam dois vetores, e a = (3,-1,-2) e b = (1,0,-3), então:

2a + b = 2(3,-1,-2) + (1,0,-3) = (6,-2,-4) + (1,0,-3) = (7,-2,-7)

b – a = (1,0,-3) - (3,-1,-2) = (-2,1,-1).

Sejam 2a + b = u e b – a = v, o vetor simultâneo pode ser descrito como o vetor gerado pelo produto vetorial de u por v.

Aplicando-se determinante temos que:

V*u= (y1*z2-z1*y2)i-(x1*z2-z1*x2)j+(x1*y2-y1*x2)k

v*u= ((-2)*(-1) – (1*(-7)))i –(7*(-1)-(-2)*(-7))j + (7*1 – (-2)*(-2))k

v*u= (2+7)i – (-7-14)j + (7-4)k

v*u= 9i + 21j + 3k

Questão 46:

Aplicando a propriedade descrita em sala, onde IV) (m*u)v = m(u*v), temos:

Dados os vetores a=( 1,-1,2), b=(3,4,-2) e c=(-5,1,-4)

b*c= (y1*z2-z1*y2)i-(x1*z2-z1*x2)j+(x1*y2-y1*x2)k

b*c= (4*(-4)-(-2)*1)i-(3*(-4)-(-2)(-5))j+(3*1-4(-5))k

b*c= (-16 +2)i-(-12-10)j+(3+20)k

b*c= -14i+22j+23k

a*(b*c)= (1,-1,2)*(-14,22,23)= -14 + (-22) + 46 = 46 – 36 = 10

a*b=((-1)*(-2)-2*4)i – (1*(-2)-2*3)j + (1*4-(-1)*3)k

a*b=(2-8)i – ((-2)-6)j + (4+3)k

a*b= -6i + 8j + 7k

(a*b)*c= (-6,8,7)*((-5),1(-4))= 30 + 8 -28 = 10

Isto é,

a*(b*c) = 10 = (a*b)*c

Questão 47:

O primeiro passo é calcular o prod. Vetorial entre os vetores v1 e v2:

Sendo v1=(2,-1,0) e v2=(1,-3,-1)

v1*v2= (y1*z2-z1*y2)i-(x1*z2-z1*x2)j+(x1*y2-y1*x2)k

v1*v2= ((-1)*(-1)-0*(-3))i – (2*(-1)-0*1)j + (2*(-3)-(-1)*1)k

v1*v2= (1-0)i – (-2-0)j + (-6+1)k

v1*v2= i +2j – 5k

Para que o vetor w seja simultâneo, w = a(v1*v2), ou seja,

(1,2,m) = a(1,2,-5)

1=a1 ⬄ a=1

m=a-5 ⬄ m = 1* (-5)

m = -5

Questão 48:

Determinar x e y para que v*w=0.

v*w= (y1*z2-z1*y2)i-(x1*z2-z1*x2)j+(x1*y2-y1*x2)k

v*w= (5by + cx/2)i + (3ac/2 - ay)j +(ax + 15ab)k

Igualando v*w=0, temos:

3ac/2 – ay = 0

3ac/2 = ay

y = 3c/2

ax + 15ab = 0

ax = 15ab

x = 15b

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Questão 49:

Determinar um vetor unitário simultâneo a v1 e v2; Após determinar um vetor de módulo 5.

v1*v2= (y1*z2-z1*y2)i-(x1*z2-z1*x2)j+(x1*y2-y1*x2)k

v1*v2= 3i – 3j – 3k

|v1*v2|= √ 3² + (-3)² + (-3)² = √9 + 9 + 9 =  √27 = 3 √3

u= v1*v2 / |v1*v2|

u= (3/3√3, -3/3√3, -3/3√3)

u= (1/√3, -1/√3, -1/√3)

5u= (1/√3, -1/√3, -1/√3)

5u= (5/√3, -5/√3, -5/√3)

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