AD1_Algebra Linear_2010-1_Gabarito

Curso de Tecnologia em Sistemas de Computa¸c˜ao

Disciplina : ´ Algebra Linear Computacional

AD1 - Primeiro Semestre de 2010

Professores: M´arcia Fampa & Mauro Rincon

Nome -

Assinatura -

1

1.(2.5) Um bi´ologo colocou trˆes esp´ecies de bact´eria(denotadas por 1,2 e 3) em

tubo de ensaio, onde elas ser˜ao alimentadas por trˆes fontes diferentes

de alimentos (A,B e C). A cada dia ser˜ao colocados no tubo de ensaio

1.500 unidades de A, 3.000 unidades de B e 4.500 unidades de C. Cada

bact´eria consome um certo n´umero de unidades de cada alimento por

dia, como mostra a Tabela. Quantas bact´erias de cada esp´ecie podem

coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? PS:

O sistema linear pode ser resolvido pelo m´etodo da Substitui¸c˜ao ou

pelo M´etodo de Gauss-Jordan.

Bact´erias Especie 1 Especie 2 Especie 3

Alimento A 1 1 1

Alimento B 1 2 3

Alimento C 1 3 5

2.(2.5) Sejam u = (1;¡2; 0;¡1) e v = (2;¡2; 4;¡3).

(a) Determine a proje¸c˜ao ortogonal do vetor u sobre v (Projvu)

(b) Calcule a distˆancia entre os vetores u e v.

(c) Determine o subespa¸co vetorial do S ½ IR4 gerado por u e v.

(d) Verifique se o vetor w = (¡1; 0;¡4; 2) 2 S

(e) Determine uma base ortogonal para S.

3.(2.5) Calcule, se poss´ıvel, a matriz indicada:

8><

>:

A =

"

0 1 1

¡1 0 0

#

; B =

2

64

4 2

3 4

5 6

3

75

; C =

h

¡1 3

i

9>=

>;

1. AB ¡ 2CT , 2. (AB)T ; 3: BTCT , 4. B ¡ 5CT ; 5: (BTAT )2

4.(2.5) Considere os seguintes vetores (matrizes)

(

A1 =

"

0 1 1

¡1 0 0

#

; A2 =

"

1 0 ¡1

0 1 3

#

; A3 =

"

1 1 0

1 1 2

#)

(a) Descreva o conjunto gerado pelas matrizes A1;A2 e A3.

(b) Verifique se o conjunto gerado S ´e um subespa¸co vetorial de [A]2£3.

(c) Verifique se as matrizes A1;A2 e A3 s˜ao LI ou LD.

(d) Determine uma base e a dimens˜ao para S ½ [A]2£3.

2

Novo Gabarito

¶ Algebra Linear: AD1 - CEDERJ

Mauro Rincon & M¶arcia Fampa - 2010.1

Tutores: Cristina Lopes e Rodrigo Olimpio

1a Quest~ao) Solu»c~ao:

Considere as inc¶ognitas:

x1 = quantidade de bact¶erias da esp¶ecie 1

x2 = quantidade de bact¶erias da esp¶ecie 2

x3 = quantidade de bact¶erias da esp¶ecie 3

Para montar o sistema relativo ao problema, vamos somar as quantidades de bact¶erias

de cada esp¶ecie x1; x2; x3 que consomem o alimento A e igualar µa quantidade total do

alimento A consumida por dia (linha L1 do sistema). Ent~ao, multiplicaremos o n¶umero

de unidades de cada alimento consumido por dia pela quantidade de cada esp¶ecie de

bact¶eria e igualaremos ao valor total de unidades de cada alimento consumido por dia

(linhas L2 e L3 do sistema). Assim temos:

8>>>>><

>>>>>:

x1 + x2 + x3 = 1500

x1 + 2x2 + 3x3 = 3000

x1 + 3x2 + 5x3 = 4500

Resolveremos o sistema pelo M¶etodo da Substitui»c~ao.

Assim, isolando x1 na primeira linha, temos: x1 = 1500 ¡ x2 ¡ x3. Substituindo na

segunda e terceira linhas, encontramos:

8><

>: 1500 ¡

x2 ¡

x3 +

2x2 +

3x3 =

3000

1500 ¡ x2 ¡ x3 + 3x2 + 5x3 = 4500

Agrupando os termos semelhantes:

8><

>:

x2 + 2x3 = 1500