Algebra Linear

Definição: seja V em um espaço vetorial, sobre R, e seja T: V→V uma operação linear. Um vetor U Є V, U ≠ 0, é um autovetor de V se existir um escalar λ de R, tal que T(U)= λ.U. Neste caso λ é um autovalor de T associado a U. É uma transformação T: V→W

- T(V) = λV Onde λ é o autovalor (escalar) e V é autovetor ( se V ≥ 0)

- T(V) = AV

Igualando obtemos: Av = λv ou Av – λv = 0

- ( A – λI) V = 0 onde A é a matriz, V = 0 é sempre solução trivial.

Os vetores V ≥ 0 para os quais existe um λ que resolve a equação (( A – ΛI) V = 0) tenha solução ale da trivial é necessário que pó determinante da matriz dos coeficientes seja 0 ou seja, DET (A - λi) = 0 o que resulta em um polinômio de grau n em λ,conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A. Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor, então, será associado ao autovetor encontrado.

Portanto: sendo a matriz A canônica que representa um operador linear T, temos:

- autovalores de λ de T ou de A: são as raízes da equação DET( A - λI) = 0, autovetores V de T ou de A: para cada λ, são as soluções da equação Av = λv ou ( A – Λi) V = 0

U é um vetor de T pois não λr/T(v) = λv.

Exemplo: Seja A a matriz da transformação T: V→V. A matriz A deve ser, portanto, uma matriz quadrada (n x n) para um autovalor de λ e um autovetor V.

T(v) = λv ou Av = λv

Considerando I a matriz unitária( identidade ), λv = λIv → λIv – Av = 0

Seja a função: F(λ) = DET ( λI – A) ela é denominada função característica da matriz A.

Resolvendo a equação, obtem-se os valores de λ que, substituídos em Av = λv permitem a determinação dos autovetores.

A matriz da diferença λ I − A é

O seu determinante é calculado pelas relações a seguir.

DET (λ I − A) = (λ − 2) [ (λ − 3) (λ + 2) − (1) (−4) ] − (−1) [ (−2) (λ + 2) − (1) (−4) ] + (−1) [ (−2) (1) − (1) (λ − 3) ].

DET (λ I − A) = [ (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 4λ − 8 ] + [−2λ ] − [−λ − 1].

DET (λ I − A) = (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 3 (λ − 3).

DET (λ I − A) = (λ − 3) [ (λ − 2) (λ + 2) + 3 ].

DET (λ I − A) = (λ − 3) [ λ2 − 4 + 3 ] = (λ − 3) [ λ2 − 1 ].

Expandindo o último termo e igualando a zero conforme,

DET (λ I − A) = (λ − 3) (λ + 1) (λ − 1) = 0.

As soluções dessa equação do terceiro grau