Algebra Linear

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – UFPE

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – CCSA

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA

ELEMENTOS DE ECONOMIA MATEMÁTICA I

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA LINEAR

Resolver sistemas lineares não é o único propósito da álgebra linear.

Pelo professor Alexandre Stanford

RECIFE, 11 DE OUTUBRO DE 2002.

ESPAÇOS VETORIAIS

As soluções dos sistemas são vetores com n componentes que podem ser representados no n-espaço euclidiano, representado por n.

Como a soma de dois vetores no n é ainda um vetor no n, como um vetor no n multiplicado por um escalar ainda é um vetor no n. Dizemos que n é FECHADO sobre adição de vetor e multiplicação por escalar.

Exemplo: A solução de é:

Forma um conjunto fechado sobre as operações.

ESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)

Uma coleção de n vetores é chamada de espaço vetorial se V é fechado sobre a operação de adição e sobre a multiplicação por escalar.

Obs.: Todo espaço vetorial contém o vetor nulo e o vetor inverso de todo vetor.

Os espaços euclidianos são exemplos de espaços vetoriais.

Todo plano no 3 contendo a origem é um espaço vetorial. Como eles são um subconjunto do 3 é conveniente chamá-los de subespaços do 3.

SUBESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)

Um espaço vetorial V é chamado subespaço de W se todo vetor em V também pertence a W.

Obs.: O menor subespaço de um espaço é uma coleção de um único vetor, a origem. Esse subespaço é chamado de subespaço trivial de W. Os outros são chamados não-triviais.

Exemplo: subespaços do 3:

• O próprio 3.

• Planos contendo a origem.

• Retas contendo a origem.

• A origem.

INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS

A interseção de dois subespaços é um subespaço.

PROVA:

S = S1  S2

S tem pelo menos um vetor em comum, a origem. Essa é um subespaço.

Se v  S então v  S1 e v  S2

Se u  S então u  S1 e u  S2

(I) (v + u)  S, pois:

v  S1 e u  S1. Logo (v + u)  S1

v  S2 e u  S2. Logo (v + u)  S2

Assim, (v + u)  S1 e (v + u)  S2. Logo, (v + u)  S.

(II) a  , v  S  av  S, pois:

v  S1. Logo, av  S1

v  S2. Logo, av  S2

Assim, av  S1 e av  S2. Logo, av  S.

COMBINAÇÃO LINEAR

Um vetor b é chamado de uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... , vn se b pode ser expresso na forma:

b = 1v1 + 2v2 + ... + nvn, onde os i’s são escalares.

Exemplo 1:

Determine se o vetor b = (-3,12,12) é uma combinação linear dos vetores v1 = (-1,3,1), v2 = (0,2,4) e v3 = (1,0,2).

ou seja:

A pergunta é se o sistema tem solução. Ou seja:

1 = 2, 2 = 3 e 3 = -1. Como |A| = 6, então o sistema tem uma única solução e a resposta é sim, é uma combinação linear.

Exemplo 2:

Como |A| = 0 e A é quadrada, o sistema não tem solução ou é indeterminado.

Incompatível.

Isto é, o vetor (1,5) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (3,2) e (-6,-4).

GERADOR

Gerador do espaço é um conjunto de vetores pelo qual pode-se gerar todos os elementos do espaço.

Suponha que v1, v2, ..., vn são vetores em um espaço vetorial V. Diz-se que esses vetores geram V se V consiste de todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn, isto é, se todo vetor v em V pode ser expresso na forma:

v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn, onde os i’s são escalares.

Exemplo 1: Os vetores c1 = (1,0) e c2 = (0,1) geram o 2 desde que todo vetor b em 2 é uma combinação linear de c1 e c2: b = (b1,b2) = b1 (1,0) + b2 (0,1) = b1c1 + b2c2.

Exemplo 2: Quais os vetores geradores do espaço solução do sistema x1 + 2x2 – x3 = 0 ?

Solução: x1 = -2x2 + x3, para x2 e x3 quaisquer. O vetor solução seria:

(x1, x2, x3) = x2 (-2,1,0) + x3 (1,0,1) ou seja:

(-2x2+x3, x2, x3) = (-2x2, x2, 0) + (x3, 0, x3) = x2 (-2,1,0) + x3 (1,0,1)

Então os vetores (-2,1,0) e (1,0,1) são os geradores do espaço de soluções do sistema x1 +