Algebra Linear

Etapa 2

Passo 1

Equação Linear

Equação linear é toda equação na forma de a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b. Onde:

a1a2, ... , an são números reais chamados coeficientes;

x1, x2, ..., xn = são incógnitas;

b é o termo independete.

Note que, uma equação linear, os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.

Solução de equação linear

A solução de uma equação linear com n incógnitas é a sequencia de números reais e enupla (α1, α2, ..., αn) que, colocados respectivamente no lugar de x1, x2, ..., xn, tornam verdadeira a igualdade dada.

Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogenia.

Duas equações são equivalentes quando tem as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo. Podemos obter equações equivalentes de duas formas:

Multiplicando os dois membros da equação por um mesmo número real não nulo;

Adicionando um mesmo número real aos dois membros da equação.

Sistema Linear

Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, ..., xn a todo sistema da forma:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

.........................................................

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Em que a11, a12, …, a1n, b1, b2, ..., bm são números reais.

Solução de um sistema linear.

Se o conjunto ordenado de números reais (α1,α2, ..., αn) satisfizer todas as equações do sistema linear, será denominado solução do sistema linear.

Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1 = b2 ... = bm = 0, o sistema linear é dito homogeneo.

2x+y-z = 0

Uma solução do sistema linear homogeneo x+y+4z = 0

5x-2y+3z=0

é (0,0,0).

Essa solução chama-se solução trivial do sistema homogeneo. Se o sistema homogeneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivial.

Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução são ditos equivalentes.

Exemplo:

x-2y = -3 e 3x-4y = -5

2x+y = 4 x + 2y= 5

São equivalentes pois ambos tem como conjunto solução S = {(1,2)}.

Passo 2

Classificação de um Sistema Linear

Os sistemas são classifocados da seguinte forma:

Considere o sistema ax + by = e , cuja forma escalonada é:

cx + dy = f

ax + by = e

(ad – bc) * y = (af – ce) (*)

= D

em que D = a b é o determinante da matriz incomplete do sistema.

c d

Verificamos então que se D 0, o sistema é possivel determinado e a solução pode ser obtido através da Regra de Cramer.

Se D = 0, o 1° membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2° membro de (*), temos SPI ou SI.

Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos:

Matrizes dos Coeficientes das Variáveis

É a matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema.

Ex.:

Matriz Ampliada de um Sistema Linear

É a matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema acrescida de uma coluna formada pelos termos independentes.

Ex.:

Lei de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff são empregadas em circuitos elétricos mais complexos, como por exemplo circuitos com mais de uma fonte de resistores estando em série ou em paralelo. Existem duas definições distintas:

Nó: é um ponto onde três (ou mais) condutores são ligados.

Malha: é qualquer caminho condutor fechado.

Primeira lei de Kirchhoff (lei dos nós)

Em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam(aquelas cujas apontam para fora do nó) é igual a soma das correntes que chegam até ele. A Lei é uma conseqüência da conservação da carga total existente no circuito. Isto é uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós.

Segunda lei de Kirchhoff (lei das malhas)

A soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m) em qualquer malha é igual a soma algébrica das quedas de potencial ou dos produtos iR contidos na malha.

O exemplo abaixo demonstra a aplicação da Lei de Kichhoff.

Determine as correntes I1,I2 e I3 no circuito elétrico mostrado abaixo:

Circuito com duas baterias e quatro resitores.

No nó A (lei da corrente): I1 −