Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

ETAPA 1

Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico

As fases na resolução de problemas físicos podem, de modo geral, ser assim representadas:

Problema físico

Modelagem

Modelo matemático

Resolução

Solução

A partir do problema físico, com emprego de leis de conversão (quantidade de movimento, massa, energia etc.), de relações constitutivas, modelos de turbulência etc., e das condições de contorno, chega-se a um modelo matemático.

Feita a modelagem matemática, a fase seguinte consiste na resolução do modelo matemático. Mostrar se ele tem solução ou não e se sua solução é única ou não integra a fase de resolução. Feito ou admitido isso, resolver o modelo matemático numericamente significa obter uma solução, mesmo que aproximada, exclusivamente por processos numéricos.

A área da matemática que trata da concepção de processos numéricos e estuda sua exequibilidade para encontrar aproximações a solução do modelo matemático denomina-se analise numérica.

Foi com o surgimento do computador na década de 40 que a importância da analise numérica começou a ser notada, uma vez que, por meio do processamento eletrônico de dados, as técnicas numéricas se tornaram viáveis.

O calculo numérico tem sua importância centrada no fato de que, mesmo quando a solução analítica é difícil ser obtida, as técnicas numéricas podem ser empregadas sem maiores dificuldades. Por exemplo, uma solução da equação

X6 – 20x5 – 110x4 + 5x3 – 5x2 + 70x – 100 = 0

Pode, sem grandes dificuldades, ser obtida por meio do calculo numérico, mesmo é impossível encontrar uma solução analítica, como nesse casso.

Problema numérico: é o tipo de problema que é resolvido por meio de calculo numérico denomina-se problema numérico.Considera-se que um problema é numérico quando tanto os dados (dados de entrada) como os resultados (dados de saída) para o problema são conjuntos numéricos finitos. Existe, assim, uma relação funcional entre os dados de entrada, que são as variáveis independentes e os parâmetros do modelo matemático, e os dados de saída, que são os resultados desejados (variáveis dependentes).

Exemplo:

Determinar as soluções da equação

X6 – 20x5 – 110x4 + 5x3 – 5x2 + 70x – 100 = 0

É um problema numérico, tendo em vista que os dados de entrada e de saída são conjuntos numéricos finitos.

Método numérico: é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar um modelo matemático num problema numérico ou conjunto de procedimentos usados para resolver um problema numérico. A escolha do método mais eficiente para resolver um problema numérico deve envolver os aspectos:

-precisão desejada para os resultados;

-capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergência),

-esforço computacional despendido ( tempo de processamento, economia de memória necessária para a resolução).

Interação ou Aproximação Sucessiva: é uma das ideias fundamentas do calculo numérico. Num sentido amplo, interação significa a repetição de um processo.Grande parte dos métodos numéricos é interativa. Um método interativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos:

Tentativa inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução desejada do problema numérico.

Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas as iterações ou as aproximações sucessivas para a solução desejada.

Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento interativo é finalizado.

Na busca da solução do modelo matemático por meio de calculo numérico, os erros surgem de várias fontes e merecem cuidado especial. O modelo matemático para o problema real deve traduzir e representar o fenômeno que está ocorrente no mundo físico.

Os erros de arredondamento surgem devido ao fato de algumas propriedades básicas da aritmética real não valerem quando executadas no computador, pois,enquanto na matemática alguns números são representados por infinitos dígitos, na maquina isso não é possível, tendo em vista que uma palavra da memória e a própria memória da maquina são finitas. Por exemplo, 1/3 = 0,3333... Portanto, 1/3 = 0,3333, e nessa representação para o número 1/3 tem-se erro de arredondamento.

Conversão de Base

Para realizar a conversão de base decimal para binário, considere x na base 10, e sejam i a parte inteira e f a parte fracionária desse número na base binária, i e f são determinados por meio do seguinte procedimento:

Divide-se sucessivamente a parte inteira de x na base 10 por 2, até que o ultimo quociente seja igual a 1.

Compõe-se i da seguinte forma: ultimo quociente obtido que é igual a 1, com os restos das divisões lidos em sentido inverso aquela em que foram obtidos, ou seja, i = 1re...r1 r0.

Multiplica-se a parte fracionária de x na base 10 por 2. Desse resultado toma-se a parte inteira como sendo o primeiro digito de f na base binária. A parte fracionária iriunda da primeira multiplicação é novamente multiplicada por 2.Do resultado obtido toma-se a parti inteira como segundo digito de f e assim por diante.O processo é repetido até que a parte fracionaria do ultimo produto seja igual a zero ou até que se observe o aparecimento de uma dizima periódica ou não.

Etapa 2

Caso (a): O calculo da área de uma circunferência é feito utilizando a seguinte formula:

Área circunferência = ╥ x r 2

Podemos observar que a constante Pi é um número irracional, ou seja, é uma progressão infinita. A diferença no