Definição Algebra Linear - Matriz

INTRODUÇÃO:

Com o crescente uso de computadores e acesso a novas tecnologias, as matrizes se difundiram e as suas teorias são cada vez mais utilizadas em áreas como: Economia, Engenharia, Matemática, dentre outras. No conceito elas formam um importante sistema matemático, em especial seu uso é difundido no estudo de transformações lineares.

É dado o nome matriz de ordem m por n a um quadro de mxn elementos, encontrando em m linhas e n colunas.

Exemplo:

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44 m linhas

n colunas

Podemos chamar os elementos da matriz de aij.

Ao denominar uma matriz, usamos letras maiúsculas, exemplo: A, B, C etc.

a11 a12

a21 a22

a31 a32

4 6

-2 1

3 1

A=

a11 = 4 a12 = 6

a21 = -2 a22 = 1

a31 = 3 a32 = 1

Principais Matrizes

Matriz Quadrada:

Nesse tipo de matriz, temos o mesmo número de linhas e colunas, exemplo:

A= 1 -2 3

3 1 2

4 -5 6

3x3

Essa matriz é de ordem três nela os elementos a11, a22 e a33 formam a chamada diagonal principais.

1 -2 3

3 1 2

4 -5 6

* Diagonal principal

1 -2 3

3 1 2

4 -5 6

* Diagonal Secundária

Matriz linha:

Única linha m

A= -2 5 6 1

1x4

Matriz Coluna:

Única coluna n

A= 5

3

-2

1

4x1

Exemplo

Sabendo que aij = 7i-3j, para i ≤ j

5i+1, para i > j

Encontre:

a-) a21

b-) a58

Resolução:

a-) i=2, j=1 ---> 5i + 1j = 5.2+1.1 =11

b-) i=5, j=8 ---> 7i-3j = 5.7-3.8 =11

Igualdade de matriz:

As matrizes são iguais quando:

- possuem a mesma ordem.

- os elementos da mesma posição são iguais.

Exemplo: Determine x e y, para as matrizes iguais

A= 4 6

4 4

B= 4 x+y

x-y 4

Resolução:

{x+y=6

{x-y = 4

2x = 10 x =5

5+y=6  y=1

Adição e Subtração de Matrizes:

Exemplo:

A= x y

z w

B= m n

o p

A±B= x±m y±n

z±o w±p

Exemplo:

Adição

A= 2 1 B= -3 6

3 7 7 -3

A+B= 2+(-3) , 1+6 , 3+7 , 7+ (-3)

A+B= -1 7

10 4

Subtração:

A= -2 1 B= 1 -7

3 2 2 5

4 4 3 -6

3x2 3x2

A-B= -3 8

1 -3

1 9 3x2

Propriedades da Adição de Matrizes:

I – A+(B+C) = (A+B)+C

II- A+0= 0+A=A

III- -A+A=A-A=0

IV- A+B=B+A

Para um produto de uma matriz por uma escalar efetuamos o produto do número com todo o elemento da matriz.

Exemplo:

Sendo:

A= 3 2 6

1 4 1

Calcule x= ½. A

x= 3/2 1 3

½ 2 1/2

Produto de uma matriz por outra:

Chama-se matriz produto A(aij mxn)