EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS E SUAS APLICAÇÕES EM FLEXÃO DE VIGAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS E SUAS APLICAÇÕES EM FLEXÃO DE VIGAS

LUCIAN SOUZA SANTOS

Graduando em Engenharia Civil

IESFAVI - 3º Período 2018/2

Resumo: As engenharias em geral estudam meios para que facilite nossa convivência como sociedade à engenharia civil e cheia de conceitos, em sua maioria matemáticos, esse trabalho traz uma analise de utilização dos cálculos de equações ordinárias que tem aplicação direta em flexão de vigas.

Palavras-chaves: Equações Diferenciais, Flexão, Vigas, Derivadas, Engenheiro, Engenharia, Rotação, EDO, Variáveis, Classificação, Deflexão, Cisalhamento, Ângulo.

1. Introdução

Normalmente vemos as equações algébricas em que as incógnitas são números, já a equação diferencial e uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções.  Equações diferenciais constituem uma ferramenta importante na modelagem de fenômenos naturais estudados pela Física, Química, Econômica e Biologia.

Na Engenharia a utilização continua de equações diferenciais é feita através do estudo da atuação de corpos sólidos, entre eles o fenômeno da flexão sofrida pelos corpos devido às cargas que eles recebem. Nesse sentido como podemos aplicar equações diferenciais para mensurar a flexão de vigas?

 

O propósito desse trabalho e demonstrar a aplicação de equações diferenciais em flexão de vigas, utilizando os conceitos básicos necessários para compreensão das equações diferenciais e das vigas.

A viga é um elemento estrutural básico de qualquer construção, seja edificação ou uma estrutura viária, em seu dimensionamento, é necessário mensurar o efeito da flexão provocado pelas cargas. Portanto estudos como esse artigo são de grande importância para estudantes das engenharias civil, mecânica, aeronáutica, naval, por abordar um tema que faz parte da rotina diária de um engenheiro.    

1. Desenvolvimento

1. História do desenvolvimento

O desenvolvimento das Equações Diferenciais foi objeto de estudo dos maiores matemáticos do planeta ao longo dos três últimos séculos. Considerados os pais do Cálculo Diferencial Isaac Newton (1942-1727) e Gottfried W. Leibniz (1646-1716) deram início a esse estudo, de forma independente, no século XVI, resolvendo assim muitos problemas que até o surgimento do Cáculo ainda estavam sem solução. Após eles o Cálculo contou com a contribuição dos irmãos Jakob (1654-1705) e Johann (1667-1748) Bernoulli que fizeram muito pelo desenvolvimento de métodos para resolução das equações diferenciais e ampliação do campo de suas aplicações. Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johann, também contribuiu em seus estudos com o desenvolvimento do Cálculo Diferencial, principalmente através das Equações Diferesnciais Parciais.

Joseph-Louis lagrange (1736-1813) e Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) foram outros grandes nomes que trabalharam na evolução das equações diferenciais, mas sem dúvidas aquele cujo estudos nessa área trouxeram os resultados mais significativos foi Leonhard Euler (1707-1783), considerado o msior matemático do século XVIII, entre suas inúmeras contribuições para a Mecânica e a Matemática ele identificou a condição para que as equações diferenciais de primeira ordem sejam exatas em 1734-1735, desenvolveu a teoria de fatores integrantes, no mesmo artigo, e encontrou a solução geral para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes em 1743, estendendo esse método para equações não homogêneas em 1750-1751.

1.  Equações diferencias

Uma equação diferencial é toda equação cujas incógnitas, são funções e que contem pelo menos uma derivada dessas funções, elas são classificadas por tipo, ordem e linearidade.

Classificação por Tipo

Se uma equação contiver somente derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, ela será chamada de equação diferencial ordinária (EDO).

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Figura 1. Exemplos de EDO. Fonte: Costa, 2010, pg.4

Uma equação que envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP). Por exemplo:

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Figura 2. Exemplos de EDP. Fonte: Costa, 2010, pg.4

Classificação por Ordem

A ordem de uma equação diferencial depende do grau da maior derivada presente na equação diferencial. A equação:

[pic 3]

é um exemplo de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.

Em símbolos, podemos expressar uma equação diferencial ordinária de ordem n de uma variável dependente na forma geral:

[pic 4]

Classificação por Linearidade

Uma classificação crucial de equações diferenciais é se elas são lineares ou não. Dizemos que uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear se F é uma função linear das variáveis y, y', y'',..., . Isso significa que uma equação diferencial ordinária linear de n-ésima ordem pode ser colocada na forma:[pic 5]

[pic 6] 

Nesta equação observamos as duas propriedades características de uma equação linear: primeiramente, a variável dependente e todas as suas derivadas são funções de primeiro grau. Segundo, cada coeficiente depende no máximo da variável independente x. As equações

[pic 7]

são, respectivamente, equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e terceira ordem. Uma equação diferencial ordinária que não obedece à definição acima é dita não-linear.

1.  Vigas

Uma viga é um elemento estrutural das edificações, presente também na mecânica em carros, aviões, navios, etc.    A viga é geralmente usada no sistema laje-viga-pilar para transferir os esforços verticais recebidos da laje para o pilar ou para transmitir uma carga concentrada, caso sirva de apoio a um pilar.