Equações diferenciais ordinarias

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UNIVERSIDADE PAULISTA

VICE-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

RELATÓRIO FINAL DE PESQUISA

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Pesquisa Financiada pela Vice-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa da UNIP, no Programa “Iniciação Científica”.

É proibida a reprodução total ou parcial.

ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SUAS APLICAÇÕES

Rodolfo Zanqueta Paes de Almeida

UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP

Tendo em vista que as áreas de construção e engenharia civil representam grande parte do setor econômico brasileiro no momento, é de grande importância que se tenha investimentos em pesquisas científicas para auxiliar no desenvolvimento tecnológico brasileiro trazendo inovações que agreguem, no meio de trabalho, mais praticidade, economia financeira, segurança e que agrida cada vez menos o meio ambiente, procurando tornar as construções mais sustentáveis e resistentes.

 O trabalho a ser apresentado teve o propósito de aperfeiçoar e aprofundar o estudo em equações diferenciais, à princípio nos teoremas e métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias para que, até o fim do trabalho, sejam modelados e aplicados problemas gerais e mais simples dos fenômenos físicos como circuitos elétricos, meia-vida de materiais radioativos, crescimento populacional, sistema de amortecimento massa-mola e aquecimento/resfriamento de um corpo, tendo em vista um futuro projeto com aplicações diretas na área da engenharia civil em flexões de vigas, equilíbrio de cordas e vibrações estruturais.

Com a análise de alguns modelos, podemos perceber que o estudo de equações diferenciais é de fundamental importância, principalmente, para os estudantes de engenharia que lidam com as ações físicas em seu dia-a-dia. Mostrando não só a importância das aplicações nesse campo, mas também proporcionalizando ao iniciante do estudo uma base para seguir qualquer área de interesse. Com a perspectiva de colaborar de forma significativa com a construção do conhecimento.

Palavras-chave: Equações diferenciais; modelagem; abordagem qualitativa.

ABSTRACT

Considering that the construction and civil engineering areas represent much of the Brazilian economic sector at the moment, is of great importance that has investments in scientific research to assist technological development bringing innovations that add Brazilian, in the middle of work, more convenience, economy, financial security and that less and less damaging the environment, seeking to make the buildings more sustainable and resilient.

 The work to be presented had the purpose to improve and deepen the study on differential equations, at first in theorems and methods of solving ordinary differential equations so that, by the end of the work, are modeled and applied general problems and simplest of physical phenomena such as electrical circuits, half-life of radioactive materials, population growth, mass-spring damping system and heating/cooling of a body with a view to a future project with applications directory.

With the analysis of some models, we can realize that the study of differential equations is of fundamental importance, mainly for students of engineering dealing with the physical actions in your daily life showing not only the importance of applications in this field, but also proporcionalizando the beginner of the study a foundation to pursue any area of interest. With the prospect of collaborate significantly with the construction of knowledge.

Keywords: Differential Equations; modeling; qualitative approach.

Sumário

1        INTRODUÇÃO        

1.1        TEMA        

1.2        OBJETIVOS GERAIS        

1.3        OBJETIVOS ESPECÍFICOS        

1.4        JUSTIFICATIVA        

2        MÉTODO        

2.1        PROCEDIMENTOS        

3        RESULTADOS        

3.1        CONSIDERAÇÕES INICIAIS        

3.2        INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS        

3.3        CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS        

3.4        PROBLEMAS DE VALOR INICIAL (PVI)        

3.5        EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS        

3.6        EQUAÇÕES EXATAS E FATORES INTEGRANTES        

3.7        TRANSFORMAR EQUAÇÃO NÃO-EXATA EM EXATA POR MEIO DE FATOR INTEGRANTE        

3.8        MÉTODO DAS EQUAÇÕES LINEARES        

3.9        APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS: O MÉTODO DE EULER        

3.10        TEOREMA DA EXISTÊNCIA E UNICIDADE        

4        EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR        

4.1        REDUÇÃO DE ORDEM        

4.2        EQUAÇÕES LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES        

4.2.1        EQUAÇÃO AUXILIAR        

4.2.2        MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR