Exercicios Algebra Linear Resolvidos

RESOLUÇÃO DA PROVINHA – ENG. CIVIL – ÁLGEBRA LINEAR –SET/2013

1)Conceituar:

a)Subespaço vetorial. .

Resp.

Um conjunto não vazio V, subconjunto de um espaço Vetorial W é subespaço vetorial de W se são válidas as duas condições:

i)Dados u, vЄV, tem-se (u+v)ЄV; ii)Dados uЄV e αЄR, tem-se αu ЄV

b)Combinação linear

Um vetor v é combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn se existem reais tais que

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn .

c)Vetores LI – linearmente independentes

Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é LI ou Linearmente Independente se a equação

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 admite somente a solução nula.

2)Verificar se o conjunto S = {(x, y, z) | x = 4y, z = 0} é um subespaço vetorial de R3, com as opera-ções usuais de adição e multiplicação por escalar.

Resp.:

Sejam os vetores de S: v1 = (4y1; y1; 0) e v2 = (4y2; y2; 0) e número α real:

i)v1+ v2 = (4y1; y1; 0) + (4y2; y2; 0) = (4y1+ 4y2; y1+ y2; 0) = (4(y1+y2); y1+ y2; 0) ЄR3

ii)αv1 = α(4y1; y1; 0) = (4αy1; α y1; 0) ЄR3.

Logo o conjunto S acima é subespaço vetorial de R3.

3)Determinar a dimensão e criar uma base para os espaços vetoriais:

a) {(x, y, z) | y = 2x}

Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (x; 2x; z). tem-se:

• Dimensão = 2 (número de variáveis do vetor genérico).

• Base: já que a dimensão é 2, então uma base desse espaço vetorial tem 2 vetores. Então cria-se dois vetores particulares a partir do genérico:

Para x = 1 e z = 2 ==> v1 = (1, 2, 2). Para x = 4 e z = 5 ==> v2 = (4; 8, 5)

E uma base é B = {v1; v2} = {(1; 2; 2), (4; 8; 5)}

b){(x, y, z) | x = 3y e z = -y}

De forma semelhante, tem-se:

Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (3y; y; -y). tem-se:

• Dimensão = 1 (número de variáveis do vetor genérico).

• Base: já que a dimensão é 1, então uma base desse espaço vetorial tem 1 vetor. Então cria-se

um vetor particular a partir do genérico:

Para y = 1 ==> v = (3; 1; -1)

E uma base é B = {v} = {(3; 1; -1)}

4)Mostrar que S = {(x, y; z) | y = x +3 e z = 0} não é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Resp.: Sejam os vetores de S: v1 = (x1; x1+3; 0) e v2 = (x2; x2+3; 0). Tem-se:

i)v1+v2 = (x1; x1+3; 0) + (x2; x2+3; 0) = (x1+x2; x1+x2+6; 0) S

Então o conjunto S acima não é subespaço vetorial de R3.

5)Escrever o vetor w = (7, –11, 2) como combinação linear dos vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4).

Resp.: Assim: a(2, -3, 2) + b(-1, 2, 4) = (7, -11, 2) ==> (2a – b, -3a+2b, 2a + 4b) = (7, -11, 2)

O que fornece o sistema linear cuja resolução fornece:

Então w = 3u – v

6)Conceituar:

a)Igualdade de matrizes.

Resp. Duas matrizes de mesma ordem são iguais se os termos de mesma posição são iguais.

Ou: As matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais se aij = bij.

b)Matriz transposta.

Resp. A matriz At é transposta da matriz A = (aij)mxn se At = (aji)nxm; isto é, as colunas de At são respec-tivamente as linhas da matriz A.

c)Matriz identidade.

Resp. Matriz Identidade é a matriz quadrada cujos termos da diagonal principal são iguais a 1e os ou-tros termos são nulos.

Ou: Matriz identidade é a matriz diagonal cujos termos da diagonal principal são iguais a 1.

5)Calcular