Integrais

Unidade 3 parte 4

3.9.9 Integral Definida

Seja f uma função continua no intervalo [a,b]. Intuitivamente, a integral de f(x) sobre o intervalo [a, b] pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de sabe Δx → 0 e altura f(), onde o produto f() Δx é a área deste retângulo. A soma de todos estas pequenas áreas infinitesimais fornece a área entre a curva y = f(x) e o eixo x.[pic 1][pic 2]

Deste modo,

 f(x) dx = limΔx→0   f( ). Δx, onde [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Esta é a definição formal da integral definida.

O calculo de uma integral definida através de sua definição pode ser extremamente complexo e até inviável para algumas funções. Portanto, não a utilizamos para calcular integrais definidas, sim um teorema que é considerado um dos mais importantes do cálculo.

Teorema Fundamental do Calculo:

Se a função f(x) é continua em [a, b], então  e a e b são chamados, respectivamente, limite inferior e superior de integração.[pic 7]

Propriedades da Integral Definida

1.  0[pic 8]

Exemplo:

 [pic 9]

            [pic 10][pic 11]

Exemplo:

[pic 12]

 [pic 13]

          , onde a, b e c são números arbitrários no intervalo.[pic 14][pic 15]

 [pic 16]

  ou [pic 17][pic 18]

        iv) se f(x) é integral em [a, b] e f(x) e f(x) ≥ 0   [a, b], então ∫ f(x)dx ≥ 0.[pic 19]

Exemplo:

 [pic 20]

        v) se f(x) e g(x) são integráveis em [a,b] e f(x) ≥ g(x) então  [pic 21][pic 22]

Exemplo:

Seja f(x) = e g(x) = x - 1 no intervalo [0, 3], temos:  [0,3] e assim: [pic 23][pic 24][pic 25]

 [pic 26]

 [pic 27]

Exercício de Fixação

Calcular as integrais

1. [pic 28]
2. [pic 29]

u=             =[pic 30][pic 31]

du=3           = [pic 32][pic 33]

        [pic 34]

1.  [pic 35]
2. [pic 36]