Lista de algebra linear

Professor: Ravik M. M. da Rocha

Nome:

1. Quais das func¸o˜es T abaixo de R2 em R2 s˜ao transformac¸o˜es lineares? (a) T (x1, x2) = (1 + x1, x2)

(b) T (x1, x2) = (x2, x1)

(c) T (x1, x2) = (x2, x2)

(d) T (x1, x2) = (sin x1, x2) (e) T (x1, x2) = (x1 − x2, 0)

2. Encontre a imagem, posto, nu´cleo e nulidade da transformac¸a˜o nula e da transforma¸c˜ao identidade sobre um espac¸o vetorial V .

3. Seja V o espac¸o das func¸o˜es polinomiais f de R em R. Se f (x) = c0 + c1x + . . . + ck xk ´e um elemento de V , defina a transformac¸a˜o linear D : V → V por (Df )(x) = c1 + 2c2x + . . . + kck xk−1. Chamamos essa transformac¸a˜o de transformac¸a˜o diferencial. Qual a imagem e o nu´cleo dessa transforma¸c˜ao?

4. Existe uma transformac¸a˜o linear T de R3 em R2 tal que T (1, −1, 1) = (1, 0) e T (1, 1, 1) = (0, 1)?

5. Existe uma transformac¸a˜o linear T de R2 em R2 tal que T (1, −1) = (1, 0), T (2, −1) = (0, 1), T (−3, 2) = (1, 1)?

6. Seja C o corpo dos nu´meros complexos e seja T a func¸a˜o de C3 em C3 definida por

T (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + 2x3, 2x1 + x2, −x1 − 2x2 + 2x3)

.

(a) Verifique que T ´e uma transforma¸c˜ao linear

(b) Se (a, b, c) ´e um vetor de C3, quais s˜ao as condic¸o˜es sobre a, b e c para que o vetor esteja na imagem de T ? qual ´e o posto de T ?

(c) Quais as condic¸o˜es sobre a, b, c para que a, b, c esteja no nu´cleo de T ? Qual ´e a nulidade de T ?

7. Descreva explicitamente a transformac¸a˜o linear de R3 em R3 cuja imagem ´e o subespac¸o gerado por (1, 0, −1) e (1, 2, 2).

8. Seja V o espac¸o vetorial de todas as matrizes n × n sobre um corpo F e seja B uma matriz fixa n × n. Se

T (A) = AB − BA

verifique que T ´e uma transformac¸a˜o linear de V em V .

9. Seja V o espac¸o das matrizes n × 1 sobre F e seja W o espac¸o das matrizes m × 1 sobre F . Seja A uma matriz fixa m × n sobre F e T uma transformac¸a˜o linear de V em W definida por T (X) = AX. Prove que T ´e a transformac¸a˜o nula se e somente se A ´e a matriz nula.

10. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n sobre um corpo F e seja T a transformac¸a˜o linear de V em V tal que a sua imagem e o seu nu´cleo s˜ao identicos. Prove que n ´e par. Vocˆe consegue encontrar um exemplo de uma transformac¸a˜o linear dessa forma?

11. Seja V um espac¸o vetorial e t uma transformac¸a˜o linear de V em V . Prove que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) A intersec¸a˜o da imagem de T e o nu´cleo de T ´e o subespac¸o nulo de V

(b) Se T (T α) = 0, ent˜ao T α = 0

12. seja T o operador linear sobre R3 definido por

T (x1, x2, x3) = (3x1, x1 − x2, 2x1 + x2 + x3).

A transformac¸a˜o linear T ´e