A Distribuição Poisson
Por: Maigan • 28/3/2016 • Trabalho acadêmico • 2.245 Palavras (9 Páginas) • 732 Visualizações
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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Estatística e Informática
PPG em Biometria e Estatística Aplicada
Disciplina: Probabilidade
Maigan Stefanne da Silva Alcântara
Distribuição de Poisson
Recife – PE
Junho/2014
HISTÓRICO
A distribuição foi descoberta por Simeon Denis Poisson que nasceu em 1781 na pequena cidade francesa de Pithviers.. Sua família queria que ele se tornasse um médico, mas ele rapidamente abandonou essa ideia quando seu primeiro paciente morreu.
Em vez disso, ele entrou na Escola Politécnica de Paris em 1798, onde ele aprendeu com esses matemáticos famosos como Lagrange e Laplace. Como estudante ele misturou com Cauchy, Galois, Fourier e Ampere, os quais se tornou conhecido em seus diferentes campos.
A distribuição de Poisson ocupa apenas uma única página de um documento intitulado “Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile” ("Pesquisas sobre a probabilidade de sentenças penais e civis"), publicado em 1837. Neste trabalho Poisson olhou para a forma da distribuição binomial quando o número de ensaios foi grande. Ele deriva a distribuição cumulativa de Poisson como o caso limite da binomial, quando a probabilidade de um sucesso tende para zero.
O principal interesse de Poisson leigos no campo da física e matemática, onde ele é lembrado por Poisson integral na teoria do potencial, colchetes de Poisson em equações diferenciais, a razão de Poisson na elasticidade e Poisson constante em eletricidade. Ao todo, durante sua carreira Poisson publicou mais de 300 artigos.
Embora criado como um republicano, Poisson mais tarde tornou-se um par de França em 1837, morreu em Paris em 1840 Poisson é citado como tendo dito "a vida é boa para apenas duas coisas: fazer matemática e ensino da matemática"..!
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INTRODUÇÃO
Muitas situações experimentais ocorrerem quando observamos as acusações de eventos dentro de uma unidade de tempo, a área, o volume, comprimento, etc. Por exemplo,
- O número de casos de uma doença em diferentes cidades;
- O número de mutações em regiões definidas tamanho de um cromossomo;
- O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa num determinado momento;
- O número de nascimentos por hora durante um determinado dia;
- Número de carros que chegam a um posto de gasolina;
Em todas estas situações, temos um conjunto de ocorrências que satisfazem as seguintes condições:
- A probabilidade de se observar exatamente um sucesso no intervalo é estável;
- A probabilidade de se observar mais de um sucesso no intervalo é zero;
- A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente independente da ocorrência e qualquer outro intervalo.
Distribuição de Poisson é probabilidade estatística usada para registrar a ocorrência de eventos imprevisíveis em um grande número de tentativas que se repetem.
Uma aplicação da distribuição de Poisson é prever o numero de eventos aleatórios em um determinado período de tempo.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta para as contagens de eventos que ocorrem aleatoriamente em um determinado intervalo de tempo (ou espaço).
Definição 1: Uma variável X segue o modelo de Poisson de parâmetro , se sua função de probabilidade for a seguinte:[pic 3]
(1)[pic 4]
Sendo:
- : a probabilidade de sucessos, dado o conhecimento de λ.[pic 5]
- : a média do número de eventos que acontecem por unidade de medida, ou seja, o numero esperado de sucesso.[pic 6]
- : contante matemática aproximada em 2,71828...[pic 7]
- : o número de sucessos por unidade.[pic 8]
Notação: [pic 9]
Para mostrar que (1) realmente define uma função de probabilidade discreta, temos que provar que
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A primeira desigualdade é de fácil verificação.
Vamos mostra que De fato, Tendo em conta que a soma da série é a função , temos:[pic 11][pic 12][pic 13]
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Curva da Distribuição de Poisson
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ESPERANÇA E VARIÂNCIA
Vamos calcular a esperança e variância de tal distribuição.
- Esperança
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Logo, [pic 19]
- Variância
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Portanto, ou [pic 24][pic 25]
A interpretação desses resultados nos dá que λ é o número médio de ocorrências do evento de interesse em um intervalo unitário e o número de ocorrências num intervalo qualquer é proporcional ao comprimento do intervalo. Note que a esperança e a variância são iguais!
MOMENTOS E FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS
Definição: Seja X uma variável aleatória caracterizada por uma função distribuição de probabilidade f(x). Para k=1,2,3,… seu k-ésimo momento é dados por
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Se a variável for discreta
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No caso de ser contínua
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O k-ésimo momento em torno de [pic 29] é definido como sendo [pic 30], caso este valor esperado exista. Se [pic 31] então ele é chamado de k-ésimo momento central. Observamos que [pic 32], ou seja, a variância [pic 33] é definida como operação entre os dois primeiros momentos.
Definição: Seja [pic 34] uma variável aleatória. A função geradora de momentos da variável [pic 35] é definida como sendo a função
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desde que [pic 37] exista em algum intervalo do tipo [pic 38] para algum número real [pic 39].
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