Algebra linear

MATRIZES  – pág 222    DO PLT 195 TIPOS DE MATRIZES 1) Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz             A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.     2) Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,[pic 1], do tipo 3 x 1     3) Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz [pic 2] é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.    Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.     Veja: [pic 3] Observe a matriz a seguir: [pic 4] a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3  + 1 = 3 + 1) 4) Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. Por exemplo,                                [pic 5].     5) Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: [pic 6] [pic 7] 6) Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: [pic 8] [pic 9] Assim, para uma matriz identidade [pic 10].     7) Matriz transposta: matriz At  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: [pic 11]     Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.    Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.

• 8) Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,

[pic 12] é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre       a ij = a ij.
   

• 9) Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, [pic 13].

 

Igualdade de matrizes

   Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

[pic 14]

[pic 15].

 

Operações com matrizes

ADIÇÃO

   Dadas as matrizes [pic 16], chamamos de soma dessas matrizes a matriz    [pic 17], tal que Cij = aij + bij , para todo [pic 18]:

A + B = C

Exemplos:

• [pic 19]
     
• [pic 20]

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

   Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

   Dadas as matrizes [pic 21], chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

[pic 22]  

 

Multiplicação de um número real por uma matriz

   Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

    Observe o seguinte exemplo:

[pic 23]

 

Propriedades

   Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

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