Estatística

APOSTILA DE

PROBABILIDADE

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2. DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADES

2.1. Introdução

         Uma distribuição é denominada discreta de probabilidades quando uma variável X assumir um conjunto discreto de valores X1, X2, X3 ... Xk, tendo como probabilidades P1, P2, P3 ... Pk, respectivamente, tal que P1 + P2 + P3 ... Pk = 1.

         Neste caso, definimos uma função P(x) que associa a cada valor discreto à sua respectiva probabilidade.

         Vejamos a ilustração: Lançando-se  4 moedas para cima, determinar as quantidades de todos os eventos possíveis.

         Para verificar todos estes eventos basta calcular:

(c + k)4 =  C4  + 4c3 k + + 6c2 k2 + 4ck3 + k4 .

         O sinal positivo foi colocado para uma melhor recordação do binômio de Newton. Não esquecer que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis de um espaço amostral é igual a 1.

         Após a construção do binômio de Newton, já percebemos que o nosso espaço amostral é formado de 16 resultados possíveis, para isto basta somar os coeficientes binomiais ou armar o nosso espaço amostral:

c4 = cccc

4c3k2  = ccck + cckc + ckcc + kccc

6c2k2 = cckk + ckkc + kkcc + kckc + kcck + ckck

4ck3 = kkkc + kkck + kckk + ckkk

k4 = kkkk

         A probabilidade de se obter 4 caras será de 1/16; de 3 caras será 4/16; de 2 caras será 6/16 e de l cara será 1/16. Percebe-se com facilidade que a distribuição é simétrica.

Armando a distribuição discreta de  probabilidades,  teremos  a  abaixo:

X = nº de caras	0	1	2	3	4
P(X)=probabilidade	1/16	4/16	6/16	4/16	1/16

         Observe que cada valor discreto da variável x está associado à sua respectiva probabilidade, definindo uma distribuição discreta de probabilidade. Neste caso, a probabilidade de ocorrência de cada evento é a sua freqüência relativa e sabemos que o seu somatório será igual a 1 ou 100 %.

Podemos construir o gráfico desta distribuição:

[pic 1][pic 2]

2.2. Distribuição Binomial

         Admita-se que P(A) = p é a probabilidade do evento A ocorrer em uma tentativa única e P( = q é a probabilidade do evento A não ocorrer, em uma tentativa única. Então a probabilidade do evento A ocorrer exatamente x vezes, em n tentativas será definida por:

P(x) =  onde x = 0, 1, 2, 3 ... n.

Substituindo os valores de x na fórmula acima, encontramos o desenvolvimento binominal. A variável aleatória x é definida como o número de vezes que o evento A ocorrerá em n tentativas.

2.2.1. Condições para Aplicação da Lei Binominal

1. Cada uma das experiências deve ser repetida nas mesmas condições iniciais um número pré-fixado de vezes.

1. Cada vez que uma experiência é feita, ocorrerá A ou , isto é, só ocorrerá dois eventos porque eles são mutuamente excludentes, disjuntos ou exclusivos.

c) P(A) é constante em todas as experiências (com reposição).

d) Cada experiência independe das demais.

2.2.2. Problemas Resolvidos

Problema 151

Qual será a probabilidade de se obter duas caras em 5 lances de uma moeda?

Observe que em cinco lances ou tentativas n = 5, desejamos duas caras x = 2

Sabemos que a probabilidade de ser cara ou de ser coroa, em um único lance, é 0,5 ou seja P(C)= 1/2 e P(K) = l - 1/2 = 0,5, então p = 1/2 e q = 1/2. Aplicando a fórmula binomial:

P(2)  =

Problema 152

Qual será a probabilidade de se obter pelo menos 3 caras em 5 lances de uma moeda?

No problema temos n = 5 e x = { 3, 4, 5}, sabemos que p = ½  e  q = ½, então:

P(3) = C5,2 x (1/2)3 x (1/2)2 = 10 x 1/8 x 1/4 = 10/32

P(4) = C5,1 x (1/2)4 x (1/2)1 = 5 x 1/16 x 1/2 = 5/32

P(5) = C5,0 x (1/2)5 x (1/2)0 = 1 x 1/32 x 1 = 1/33

A probabilidade de encontrarmos pelo menos 3 caras será a soma destas probabilidades:

P(x ≥ 3)  = P(3) + P(4) + P(5) = 10/32 + 5/32 + 1/32 = 16/32 = 1/2

Problema 153

Na Empresa KKI, 10% da produção de peças é rejeitada pelo controle de qualidade. Se tirarmos da produção diária, aleatoriamente 10 peças, qual será a probabilidade de 3 serem  rejeitadas pelo controle de qualidade

Solução: A = peças defeituosas, B = peças perfeitas, n = 10 e  x = 3 defeituosas

P(A) = 10% ou P(A) = 0,1 = p e P(B) = 90% ou P(B) = 0,9 = q

Já verificamos se tratar de uma distribuição binomial, pois temos válvulas perfeitas e defeituosas. Vamos calcular a probabilidade de encontrar três peças defeituosas, então