Algebra linear

O estudo da álgebra correlaciona-se nas áreas :

Muitas vezes nos depararemos com certos subconjuntos de um espaco vetorial que possuem a propriedade de que a soma de dois de seus elementos e um elemento do proprio subconjunto bem como quando multiplicamos um elemento do subconjunto por um escalar, o resultado continua pertencendo ao subconjunto.

A noc~ao de base de um espaco vetorial e muito simples. Ela consiste em escolher um conjunto de geradores que seja o menor possvel, isto e, um conjunto que gere o espaco, mas que se deste conjunto for subtrado qualquer elemento, o que resta n~ao gera mais o espaco todo. Vejamos a de

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nic~ao precisa de base.

Defini¸c˜ao 5.1 Seja V ̸= {0} um espaco vetorial

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nitamente gerado. Uma base de V e uma sequ^encia de vetores linearmente independentes B de V que tambem gera V.

Exemplo 5.2 Os vetores de B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} formam uma base de R3. V^e-se facilmente que os vetores de B s~ao l.i. e que todo (x,y,z) ∈ R3 se escreve como (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1). Exemplo 5.3 Os vetores e1,...,en ∈ Rn onde e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0, ...,0), ..., en = (0,...,0,1) formam uma base de Rn.

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Ex. Resolvido 5.4 Mostre que (1,1) e (1,−1) formam uma base de R2. Resolu¸c˜ao: E preciso mostrar que estes vetores s~ao l.i. e que todo ponto de R2 se escreve como combinac~ao linear de (1,1) e (1,−1). No entanto, se mostrarmos que todo ponto de R2 se escreve de maneira unica como combinac~ao linear de (1,1) e (1,−1) ja estaremos mostrando as duas propriedades ao mesmo tempo. (Por qu^e?) Seja (x,y) ∈R2. O nosso problema se resume em mostrar que existe um unico α ∈R e um unico β ∈R satisfazendo (x,y) = α(1,1) + β(1,−1) = (α + β,α − β). Esta ultima express~ao e equivalente ao seguinte sistema linear {α + β = x α − β = y. Resolvendo o sistema obtemos uma unica soluc~ao dada por α = (x+y)/2 e β = (x − y)/2.

Exemplo 5.5 As matrizes em B ={(1 0 0 0),(0 1 0 0),(0 0 1 0),(0 0 0 1)}

formam uma base de M2.

Exerc´ıcio 5.6 Veri

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que se os elementos de B = {1 + x,1 − x,1 − x2} formam uma base de P2(R).

Proposi¸c˜ao 5.7 Seja {u1,...,un} uma base de V. Ent~ao {u1,...,un−1} n~ao e uma base de V. Prova: Se {u1,...,un−1} fosse uma base de V ent~ao existiriam αj ∈ R, j = 1,...,n − 1 tais que un = α1u1 +···+ αn−1un−1,

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