Funções Integrais

Integração por substituição

Considere a seguinte integral:

[pic 1]

A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis [pic 2]. Desta forma, [pic 3] o que, substituindo na integral acima, fornece:

[pic 4]

Esta técnica, é consequência da regra da cadeia para derivadas.1

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Considere:

[pic 5]

Tomando [pic 6], temos [pic 7]. Segue que:

[pic 8].

Integração por partes[editar | editar código-fonte]

[pic 9]Ver artigo principal: Integração por partes

A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:1 2

[pic 10].

Para integrais definidas, a fórmula análoga é:

[pic 11]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral definida:

[pic 12].

Tomando:

[pic 13]

Seque, da integração por partes que:

[pic 14].

Substituições trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Expressão	Substituição	Elemento infenitesimal	Expressão resultante
[pic 15]	[pic 16]	[pic 17]	[pic 18]
[pic 19]	[pic 20]	[pic 21]	[pic 22]
[pic 23]	[pic 24]	[pic 25]	[pic 26]

As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma [pic 27], [pic 28], ou [pic 29]. Nestes casos, as substituições sugeridas são:12

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral [pic 30]. Usando a substituição [pic 31], obtem-se [pic 32]. Seque que:

[pic 33].

A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando:

[pic 34], [pic 35],

temos:

[pic 36]

[pic 37]

Daí, segue que:

...