ALGEBRA LINEAR I

T: R^3→R^2

T(x,y,z) = (x+y+z, x-y-z) tem o núcleo N(T) = {k(0,1,-1)}. Pelo teorema abaixo temos que T não é injetora.

{ Demonstração de como surgiu o núcleo : T(x,y,z) = 0 ⇔(x+y+z, x-y-z) = 0, onde x+y+z = 0 e x-y-z = 0, resolvendo temos que x = 0 substituindo temos - y = z logo o vetor de (x,y,z) = (0,y, -y) = y(0,1, -1)}

Maneira 1

T: R^2→R^3 com T(x,y,z) = (x+y, x-y, 2x - y) tem o núcleo N(T) = {(0,0,0)}. Pelo Teorema: Seja F: V⟶W uma aplicação linear, então dim KerT + dim ImT= dim V, temos que: dim(R^2) = dim ker(T) + dim Im(T) daí temos 2 = 1 + dim Im(T) daí dim Im(T) = 1, daí ImT⊂ R^3, logo não é sobrejetora.

{ Demonstração de como surgiu o núcleo : T(x,y,z) = 0 ⇔( x+y, x-y, 2x - y) = 0, onde x+y = 0 e x-y = 0, 2x – y = 0 resolvendo temos que x = 0 substituindo temos y = 0 logo o vetor de (x,y,z) = (0,0, 0)}.

Maneira 2

Teorema: Seja F: V⟶W uma aplicação linear, então dim KerT + dim ImT= dim V

2 = dim ker T + dim Im T, para ser sobrejetora Im T = W, daí dim Im T = 3, logo substituindo teríamos dim Ker T = -1, que é um absurdo.

Logo não existe uma transformação Linear de R^2→R^3 tal que ela seja sobrejetiva.

Rotação de um ângulo

Geometricamente : R_θ: R^2→R^2 tal R_θ (x,y)=(x^',y^'). Vamos agora determinar a matriz da transformação linear rotação de um ângulo θ e a expressão de em função de R_θ e x e y. Quando racionamos um vetor, pela própria definição de rotação, o comprimento (módulo) do vetor não se altera. Seja " r = |v| onde v = (x, y)

Daí temos que det |R_θ- λI| = det |[■(cosθ&-senθ@senθ&cosθ)]-λ[■(1&0@0&1)]| = det|[■(cosθ-λ&-senθ@senθ&cosθ-λ)]| = (cosθ-λ).( cosθ-λ)-( senθ)( -senθ) daí

(cosθ-λ)^2+sen²θ=cos²θ-2λcosθ+λ^2+sen^2 θ=λ^2-2λcosθ+1=0

λ^2-2λcosθ+1=0

Logo os autovalores são λ = senθ-cosθ e λ = - senθ-cosθ, então o polinômio será

(x - senθ+cosθ). (x + senθ+cosθ) , portanto R_θ é diagonalizável.