ALgebra Linear

1. ETAPA 2 - Sistemas de Equações Lineares.

Aula-tema: Sistemas de Equações Lineares.

Esta atividade é importante para você, pois, além de abordar definições novas, também

auxiliará nos métodos de resolução da situação-problema

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

1.1 Passo 1

Leia os tópicos do Capítulo – Sistemas de Equações Lineares do livro-texto que aborda a definição e classificação de sistemas de equações lineares.

1.2 Passo 2

Discuta com o grupo sobre a classificação dos sistemas lineares (quanto ao número de soluções).Discuta também com o grupo sobre a definição de matriz dos coeficientes das variáveis e de matriz ampliada de um sistema linear.

R: Para resolver um sistema de n equações lineares com n variáveis, serão apresentados dois métodos: o método de Gauss-Jordan e o método da matriz inversa. Ao mesmo tempo se informará em que casos é mais conveniente utilizar a matriz ampliada.

Método Gauss Jordan:

Calculadas as raízes do sistema, foi encontrada sua solução.

A matriz dos coeficientes das variáveis foi transformada, por meio de operações adequadas na matriz unidade; ao mesmo tempo, submetida ás mesmas operações, a matriz coluna dos termos independentes foi transformada nas raízes das equações, isto é, na solução do sistema.

As variáveis x e y, durante as operações realizadas, praticamente não participaram do processo, a não ser por sua presença ao lado dos coeficientes.

Diante dessas duas constatações. É fácil explicar e entender o método de Gauss-Jordan, que por sua vez é muito simples.

2 4 | 22

5 -15 | -20

Essa matriz, associada ao sistema dado de equações lineares, é chamada de MATRIZ AMPLIADA do sistema. Cada linha dessa matriz é uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. O traço vertical é dispensável, mais é colocada para facilitar a visualização da matriz dos coeficientes das variáveis, e da matriz-coluna dos termos independentes.

1.3 Passo 3

Modele a situação-problema escrevendo-a em forma de um sistema de equações lineares fazendo uso da Lei de Kirchhoff.

X+y+z=6

2x+3y+z=10

3x+5y-z=8

1.4 Passo 4

Determine a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada desse sistema linear.

A equipe deverá entregar o material produzido ao professor.

1+1+1 [ 1 1 1 6

A=2+3+2 matriz B= 2 3 2 10 tendo a matriz ampliada;

3+5-1 3 5 1 ] 8

2. ETAPA 3 - Sistemas de Equações Lineares Regra de Cramer.

Sistemas de Equações Lineares.

Esta atividade é importante ,pois você aplicará a teoria sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, vista nas etapas anteriores, na resolução da situação-problema .É nesta etapa que você encontrará o resultado da situação-problema.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

2.1 Passo 1

Leia sobre o método de resolução de sistemas lineares: Regra de Cramer no livro auxiliar que você escolheu no Passo 2 da Etapa 1. Discuta com o grupo qual a restrição desse método de resolução de sistemas lineares.

R: Tornou-se comum apresentar as igualdades (2) assim: Onde é a matriz que se obtém D colocando os elementos de em sua coluna.

Há mais um detalhe importante sobre a Regra de Cramer: ela só se aplica a sistemas para os quais , isto é , a esta restrição torna-se evidente a partir da própria regra . Como as incógnitas são expressas por frações nas quais o determinante do sistema figura nos denominadores, é necessário supor que esse determinante seja não-nulo uma vez que a divisão por zero é impossível.

2.2 Passo 2

Discuta com o grupo qual a condição sobre o determinante da matriz incompleta do sistema linear para que ele possua solução única.

R: Matriz incompleta nada mais é do que a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema proposto.

2.3 Passo 3

Calcule o determinante da matriz incompleta do sistema linear que descreve a situação problema e conclua se esse sistema linear possui ou não solução única.

[1 1 1 1 1

2 3 1 2 3 Det A= 2 3 1 2 3 =10+3-3+2-5-3=-2

3 5 -1 ] 3 5 R:Este sistema linear possui solução única.

2.4 Passo 4

Use a Regra de Cramer para resolver o sistema linear da situação-problema. Escreva a solução encontrada para a situação-problema.

[1 1 1 1 1

D=2 3 1 2 3 D=10+3-3+2-5-9=-2

3 5 -1] 3 5

[6 1 1 6 1

Dx=10 3 1 10 3 Dx=50+8+10-30+24-18=4

8 5 -1 ] 8 5

[1 6 1 1 6

Dy=2 10 1 2 10 Dy=18+16+12-30-8-10=-2