Algebra Linear

ÁLGEBRA LINEAR

Atividades Práticas Supervisionadas

TAUBATÉ - SP

2012

ÁLGEBRA LINEAR

Atividades Práticas Supervisionadas

Atividades Práticas Supervisionadas apresentada a como parte da avaliação da disciplina Álgebra Linear da turma 1º do Curso de Engenharia Civil da Faculdade Anhanguera - Unidade Taubaté 2.

TAUBATÉ – SP

2012

Etapa 1 – passo 3

Defina o que é determinante de uma matriz.

Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada ma escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é zero.

Principais propriedades:

1. O determinante é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz.

2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta

det(A) = det(A+)

Exemplo:

A=

2 3

Det(A) = 2.-2-3.-1 = - 1

-1 -2

A=

2 -1

Det(A) = 2.-2- -1.3 = -1

3 -2

3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta apenas de zeros, o determinante dessa matriz é zero.

Exemplo:

B= 1 0

Det(B) = 1.0-0.5 = 0

5 0

4. Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos seus elementos da diagonal principal.

Exemplo:

A=

4 0 0

2 3 0

1 4 6

Aplicando Sarrus:

A= 4 0 0 4 0

2 3 0 2 3

1 4 6 1 4

Diagonais principais:

4 x 3 x 6 = 72

0 x 0 x 1 = 0

0 x 2 x 4 = 0

72 + 0 + 0 = 72

Diagonais secundárias

0 x 2 x 6 = 0

4 x 0 x 4 = 0

0 x 3 x 1 = 0

0 + 0 + 0 = 0

Determinante A

72 + 0 = 72

Multiplicando os elementos da diagonal principal chegaremos ao mesmo valor, mostrando a validade dessa propriedade.

4 x 3 x 6 = 72

5. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ Є IR então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ.

Exemplo:

A=

1 2

Det(A) = 1.4-3.2 = -2

3 4

Multiplicando a primeira coluna por 5, teremos a nova matriz:

A’=

5 2

Det A’ = 5.4-2.15 = -10 = 5.-2

15 4

6. Se permutarmos 2 linhas ou duas colunas de A então o determinante da nova matriz é – det(A).

Exemplo:

A=

5 6

Det(A) = 5.8-6.7 = 40 – 42 = -2

7 8

Permutando 2 linhas teremos:

A’= 7 8

Det(A’) = 7.6-5.8 = 42 – 40 = 2

Então det (A’) = -det(A)

5 6

7. Se A tem 2 linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0:

A= 12 12

Det(A) = 12.121-12.121 = 0

121 121

8. Se somarmos a uma linha ou coluna de A um múltiplo de outra linha, o determinante da nova matriz será idêntico ao determinante de A.

9. Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe essa propriedade entre a 1º e a 2º linha:

P=

2 4 6

Det(P) = 0

4 8 12

-1 2 9

10. Caso uma matriz quadrada de A seja multiplicada por um número real K, seu determinante passa a ser multiplicado por Kn:

A= 3 2

Det(A) = 3.5-1.2=13

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