Algebra Linear

Matrizes

Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas colunas. Representamos uma matriz com letras maiúsculas, cada um dos seus elementos tem dois índices (aij). O primeiro índice i indica à linha e o segundo índice j a coluna. O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama dimensão da matriz.

Tipos de Matrizes

As matrizes são classificadas em diversos tipos, dependendo da sua dimensão e também dos elementos que a forma. A identificação dos tipos de matrizes irá facilitar os cálculos matemáticos e os conhecimentos de suas propriedades são bastante úteis nas aplicações. São de especiais interesse as matrizes quadradas, e dentro destas, alguns tipos particulares.

Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

1 x 3

Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:

5 x 1

Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:

Podendo ser representada por 03 x 2.

Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:

Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:

Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:

A matriz oposta a ela é:

Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.

As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.

Transposta de matriz A

É a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.

Exemplo:

A = At =

A matriz At é a matriz transposta da matriz A.

Ordem de uma Matriz

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação mxn, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se “m por n”. Assim, a matriz A é de ordem 2x3.

A=

Determinante

A toda matriz quadrada A = (aij)mxn de elementos reais de ordem n está associado um único número real chamado determinante da matriz A.

Representação

O determinante da matriz A pode ser representado por:

Regras Práticas

Para o cálculo de determinantes de ordem n (n 3), procede-se da seguinte forma:

Determinante de ordem 1

Para a matriz A = [a11] o determinante é o próprio elemento a11. Det A = a11

Determinante de ordem 2

Para a matriz

Para a matriz o determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Det

-a12 . a21 ................+a11 . a22

det A = a11a22 - a12a21

Determinante de ordem 3

Para a matriz de 3ª ordem

define-se:

det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33

Determinante

Em matemática, determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não tem são praticamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

É todo número gerado pela diferença entre o produto das diagonais

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por de(A).

Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de mxm elementos (números, polinômios, funções etc.) dispostos