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Algebra Linear

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Por:   •  28/9/2014  •  Trabalho acadêmico  •  13.571 Palavras (55 Páginas)  •  264 Visualizações

Página 1 de 55

´Algebra Linear

S´ergio Lu´ıs Zani

2

Sum´ario

1 Espac¸os Vetoriais 7

1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Subespac¸os Vetoriais 15

2.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Intersec¸ ˜ao e Soma de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Combinac¸ ˜oes Lineares 23

3.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Dependˆencia Linear 31

4.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Base, Dimens˜ao e Coordenadas 37

5.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Dimens˜ao de Soma de Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

4 SUM ´

ARIO

6 Mudanc¸a de Base 51

6.1 Introduc¸ ˜ao, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Exerc´ıcios Resolvidos – Uma Revis˜ao 59

8 Transformac¸ ˜oes Lineares 71

8.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2 O Espac¸o Vetorial L(U, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3 Imagem e N´ucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.4 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.5 Matriz de uma Transformac¸ ˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.5.1 Definic¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.6 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9 Autovalores e Autovetores 105

9.1 Definic¸ ˜ao, Exemplos e Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.2 Polinˆomio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10 Diagonalizac¸ ˜ao 115

10.1 Definic¸ ˜ao e Caracterizac¸ ˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

11 Forma Canˆonica de Jordan 125

11.1 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

12 Espac¸os Euclidianos 133

12.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

12.3 Distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

12.4 ˆAngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

12.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

12.6 Processo de Ortonormalizac¸ ˜ao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . 145

12.7 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

SUM ´

ARIO 5

12.8 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

12.9 Operador Auto-adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12.10Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6 SUM ´

ARIO

Cap´ıtulo 1

Espac¸os Vetoriais

1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos

Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de espac¸o vetorial que ser´a usado em todo o

decorrer

...

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