Algebra Linear

TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR

Joinville

2013

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo a determinação das temperaturas indicadas em uma placa, através da resolução de um sistema linear, utilizando o método do escalonamento (ou eliminação) de Gauss e as propriedades necessárias para realizar-se o cálculo destas temperaturas nas condições determinadas.

DESENVOLVIMENTO

Resolução de um Sistema Linear através do Escalonamento

Pode-se resolver um sistema qualquer na sua forma original ou na forma matricial, para ambos os casos, deve-se transformar o sistema em questão em um sistema escalonado equivalente. Para isso, realizam-se operações elementares com as linhas do sistema. São elas:

- Trocar duas (ou mais) linhas de posição.

- Multiplicar uma linha por uma constante não nula.

- Somar um múltiplo escalar de uma linha com outra linha.

Exemplo: Determinar o conjunto verdade do sistema linear:

Resolução:

Para este exemplo, resolve-se mantendo a sua “forma” original.

Observe que o termo em “x” da primeira equação tem coeficiente 1 (um), o que facilita muito todos os procedimentos. Caso o sistema não apresentasse tal situação, poderia-se “ajustá-lo” para essa configuração, utilizando as operações elementares com as linhas, obviamente.

Aplicando as operações elementares com as linhas, para eliminar-se os termos em “x” da 2ª e 3ª equações, temos:

Agora deve-se eliminar o termo em “y” da terceira equação. Então:

Assim, tem-se o sistema escalonado equivalente abaixo.

Agora, na terceira equação, tem-se:

Fazendo-se a “substituição inversa” com o valor de z = 2, temos:

Logo, o conjunto verdade do sistema dado é: V = {(–1, 3, 2)}.

Discussão de um Sistema Linear através do Escalonamento

Discutir um sistema linear é avaliar as hipóteses para que ele seja SPD, SPI ou SI. Para um sistema escalonado, tem-se (normalmente) na última equação apenas uma incógnita. Consideraremos como exemplo, a incógnita “z”.

Analisando a (última) equação do sistema escalonado m.z = k Tem-se que:

SPD (solução única) se: m ≠ 0 e k Ɛ ℝ Ex: 2z = 8 ⇒ z = 4

SPI