Calculo derivada

Derivada: 5ª Lista - Extremos Relativos/Absolutos (Natália Barroso)

Obs: Alguns exercícios foram extraídos dos livros de Cálculo/Vol. 1: Stewart; Leithold, Guidorizzi; Apostol

1. Problemas envolvendo a determinação de extremos de uma função:

1. Determine os extremos relativos de [pic 1], de [pic 2] e de [pic 3]. Esboce seus gráficos (Dom., raízes, PC, crescimento de f, concavidade, PI).                                      R: [pic 4]; [pic 5]; [pic 6], s(x) não tem VMR.
2. Quais os extremos absolutos de [pic 7] em seu domínio, caso existam? E no intervalo [pic 8]? R:[pic 9] não tem extremos absolutos em seu domínio; [pic 10], pois f  cresce em [pic 11].
3. Repita o exercício anterior para a função [pic 12] analisada em seu domínio e no intervalo [pic 13].
4. Determine o ponto P sobre a curva [pic 14] que se encontra mais próximo do ponto (3,0). Mostre que a reta que passa por P e por (3,0) é NORMAL à curva em c. R:[pic 15].
5. Uma página deve ter 24 cm2 de impressão, com margem superior e inferior de 1,5 cm e de 1 cm de cada lado. Quais as dimensões da menor página que satisfaz todos estes requisitos? R: Dimensão 6 x 9
6. Uma janela consiste em um retângulo com um semicírculo sobre ele. Se o perímetro da janela for de 10 m, qual deve ser o raio do semicírculo e a altura do retângulo para que a janela deixe passar o máximo de luz? R: [pic 16]
7. Um funil, com certo volume específico, deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura do funil pelo raio de sua base para que a quantidade de material empregado seja a menor possível (a área de um cone é [pic 17], em que [pic 18]). R: [pic 19]
8. Um cone circular reto deve ser circunscrito a uma esfera de raio conhecido. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cone que incorrem em um volume mínimo. R: [pic 20]

1. Seja [pic 21] em que f é duas vezes derivável para todo x real, [pic 22] para todo [pic 23], f é côncava para baixo em [pic 24] e côncava para cima em [pic 25]:

1. Em que números g tem um valor extremo?
2. Discuta a concavidade de g.

1. V ou F ?

(  ) Se [pic 26] em um intervalo I [pic 27] f é crescente em I.

(  ) Se [pic 28] em um intervalo I [pic 29] f é crescente em I.

(  ) Seja f uma função derivável em I. Se f cresce em I [pic 30] [pic 31].

Obs: O sinal “[pic 32]” significa “tem que ser”, ou seja, “é necessariamente”.

RESPOSTAS:

3. V, F, F

2. a) x = 0  b) Côncava para cima

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