ATPS CALCULO - Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Parte 1

ANHANGUERA EDUCACIONAL
 Faculdade Anhanguera de Campinas
Engenharia de Produção
Alex Costa RA: 68.174.497.59
Denis Lima RA: 64.493.122.99
Ewerton Moreira RA: 62.592.159.57
Tiago Brolazo RA: 68.915.015.55
Tiago de Oliveira Aguiar RA: 66.563.871.50
ATPS – Cálculo II
Professor: Thiago Rincão
Campinas
2014
SUMÁRIO

 1.Desafio 2
2.Etapa 1 3
3.Etapa 2 7
Referências 13
3. Etapa 2 7
3.1. Passo 1 7
3.2. Passo 2 8
3.3. Passo 3 10
3.4. Passo 4 11
Referências........................................................................................................................................... 13

1. Desafio

Nestas duas primeiras etapas da ATPS da disciplina de Cálculo II, vamos mostrar a aplicação de derivada que está inserida nos conceitos básicos da Física. Isso será mostrado por meio de pesquisas sobre velocidade instantânea, aceleração instantânea, constante de Euler, entre outros.
2. Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

2.1 Passo 1

 Velocidade instantânea é a velocidade de um corpo num dado instante de tempo. A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média, reduzindo o intervalo de tempo Δt até torná-lo próximo de zero. À medida que Δt diminui, a velocidade média se aproxima de um valor-limite, que é a velocidade instantânea.
 Quando sabemos a posição de um corpo em cada instante de tempo, podemos calcular velocidades médias para diferentes intervalos, conhecendo-se assim novos aspectos dos movimentos. A velocidade instantânea

não é definida como a razão entre deslocamento e intervalo de tempo, ao contrário da velocidade média. Mas pode surgir a partir da velocidade média, juntamente com os conceitos matemáticos de limite e derivada.

 V = lim ῡ = lim ∆s = ds
∆t→0 ∆t→0 ∆t dt

Observe que v é a taxa de variação da coordenada de posição com o tempo, ou seja, é a derivada de s em relação à t. Observe também que v, em qualquer instante, é a inclinação da curva que representa a posição em função do tempo no instante considerado. A velocidade instantânea também é uma grandeza vetorial e, portanto, possui uma direção e um sentido.

 v = ds/dt = V0 + 30 t1

d2s / dt2 = 0 + 30 t1-1

d2s / dt2 = 30 cm/s

Se um movimento é dado por s(t) = t2 (cm,s), a velocidade instantânea em t=1s é igual a 30 cm/s.

2.2 Passo 2

t
Velocidade
0
0
1
30
2
60
3
90
4
120
5
150

S = S0 + V0t + 30 t2 /2

S-S0 = V0 T1 + 30t2 / 2

ds/dt = V0 t1-1 + 2*30 t2-1 / 2


2.3 Passo 3
Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofreu uma aceleração (ou foi acelerada). Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média em um intervalo de tempo Δt é:
v2 – v1 = ∆t
t2 –t1 ∆t
 onde a partícula tem velocidade v1 no instante t1 e velocidade v2 no instante t2. Da mesma forma que a velocidade instantânea, pode ser mostrado que a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) é dada por:

 a = lim ᾱ = dv
∆t→∞ dt

Ou seja, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva v(t) nesse ponto.

a = dv = d (ds) = d2 s
 dt dt (dt) dt2

Em outras palavras, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a derivada segunda da posição s(t) em relação ao tempo. Exemplo:

t
Aceleração
0
30
1
30
2
30
3
30
4
30
5
30

2.4 Passo 4

 Área = 5*(0+150+0) / 2
Área = 5*150 / 2
Área = 750/2
Área = 375 m/s2


3. Etapa 2

3.1 Passo 1
Euler foi criador de um dos símbolos mais importantes da matemática ℮ para base do sistema logaritmos naturais, extraído da palavra exponencial, cujo valor aproximado é: 2,718281828459045235360287.
 A constante de Euler possui várias utilidades na Teoria dos Números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.
 Leonhard Euler nasceu ao norte da Suíça em abril de 1707. Ele definiu a constante pela primeira vez em 1735, no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, usando a notação C em até 6 casas decimais. Depois, em 1761, estendeu seus cálculos para 16 casas decimais. Faleceu em 1783, tendo deixado 866 obras escritas, apesar de limitações físicas provocadas pela cegueira.
 No mundo da matemática, o nome de Euler aparece em vários teoremas, fórmulas e invenções, entre outras:

Fórmula de Euler do poliedro A “outra” fórmula de Euler Equação de Euler-Lagrange Equação de Euler da dinâmica dos fluidos
Densidade dos números primos Função totiente de Euler Integrais de Euler: Funções gama e beta Em 1790, o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subsequentes terem mostrado que ele cometera erros na 20ª, 22ª e 32ª casas decimais.

 3.2 Passo 2

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros dessa frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada.
Quando ouvimos um som, na realidade escutamos também uma série de outras frequências mais agudas que não conseguimos perceber individualmente, apenas como um conjunto sonoro. Essas frequências secundárias se manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibração não produz apenas uma única nota (ou frequência), mas sim um conjunto de várias frequências, que é chamado de harmônico. A importância que cada harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é o que definirá o timbre.
O matemático grego Pitágoras (570 a.C.-496 a.C.) foi quem descobriu as relações entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela produzida. Ele observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota dó 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitágoras descobriu relações matemáticas lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divisões, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundários com relação à nota original. Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série harmônica.
Quando a corda de uma harpa é tocada, ela vibra simultaneamente em toda a sua extensão e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou Pitágoras. Consequentemente, escutamos o som da vibração total da corda e os sons das vibrações secundárias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua séria harmônica.
Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

...