O que é Álgebra Linear

O que é Álgebra Linear

A álgebra linear1 é o ramo da matemática que estuda os espaços vetoriais, ou espaços lineares, além de funções (ou aplicações, ou transformações) lineares que associam vetores entre dois espaços vetoriais. Espaços vetoriais são uma generalização do espaço ℝ3 cotidiano e de senso comum onde vivemos, com dimensões tais como largura, altura e profundidade. Os pontos de ℝ3 podem ser associados a vetores, visualizados nos cursos básicos como setas que tem a base na origem, o ponto (0, 0, 0), e extremo oposto no ponto em questão. Sob diversos aspectos diferentes é equivalente dizer que o próprio espaço ℝ3 é um conjunto de pontos, ou de vetores. Estes vetores e sua álgebra (o conjunto de operações que podem ser realizadas sobre eles) são uma ferramenta importante em diversas áreas da ciência, notadamente na física. Além disto, é possível se mostrar como faremos neste texto, que vários outros espaços se comportam de modo semelhante ao R3. Estes espaços, chamados de forma generalizada de espaços vetoriais, podem ser profundamente diferentes dos espaços que consistem de "setas". Por isto a noção primária de uma seta, assim como a notação usual de uma seta desenhada sobre o nome do vetor, deve ser abandonada.

Provavelmente o curso de álgebra linear é o curso, dentro das disciplinas da matemática, de maior importância para estudantes e profissionais de diversas áreas fora da própria matemática. Ele é essencial nas engenharias e, particularmente, na ciência da computação. Por outro lado, para alunos de matemática, ele significa a primeira grande incursão no terreno da abstração, onde conceitos bastantes concretos, válidos para os vetores de três dimensões, são aplicados em outros espaços de dimensões arbitrárias e de natureza diversa e muitas vezes surpreendente. Nem sempre é trivial a passagem entre tópicos tais como a solução de sistemas de n equações lineares com m incógnitas para outro como núcleos de transformações lineares, homomorfismos e isomorfismos.

O campo de aplicação da disciplina é muito vasto. A computação gráfica, por exemplo, a manipulação de imagens, rotação, redimensionamento, alteração de cores são operações lienares. Por outro lado, evidentemente nem todos os processos da natureza podem ser descritos por meio de sistemas ou equações lineares. No entanto muitos sistemas e aplicações importantes são lineares, o que por si já justificaria seu estudo. Além disto a matemática envolvida na solução de sistemas não lineares é complicada e ainda está sendo desenvolvida na atualidade. Por isto sua solução passa muitas vezes pela solução de um sistema linear que melhor representa o sistema em estudo. A partir das soluções aproximadas existem métodos para se obter soluções mais próximas do sistema real.

Um bom entendimento da geometria analítica contribui muito para o estudo da álgebra linear. Para aqueles que não tem este entendimento se recomenda uma revisão de alguns tópicos, notadamente dos vetores e suas operações. Em particular considerar a definição de um vetor, soma e subtração, módulo e produto interno e vetorial. Por outro lado, um aluno de matemática com pouca familiaridade com a álgebra linear terá dificuldade em seus cursos posteriores.