Algebra Linear

Etapa1: Matrizes

• Passo 1.

Visitamos a biblioteca e alem do PLT, também usamos, LAWSON, T. Álgebra linear. Editora Edgard Blucher LTDA, 1996.

• Passo 2.

Vimos à definição, a ordem e os principais tipos de Matrizes, no PLT.

• Passo 3.

Matriz Nula. Quando todos os elementos de uma matriz forem nulos ela será chamada de matriz nula.

A matriz nula é indicada por 0m x n.

• Passo 4.

Matriz quadrada. Possui a mesma quantidade de linhas e colunas.

Matiz linha. Possui apenas 1 linha.

A = (2 3 -1 4)

Matriz coluna. Possui apenas 1 coluna

Matriz diagonal. Matriz quadrada que possui os elementos da diagonal principal diferentes de zero e os demais elementos iguais a zero.

Matriz Identidade. Matriz diagonal que possui os elementos da diagonal principal iguais a um e os demais elementos iguais a zero.

Matriz nula. Matriz que possui todos os elementos iguais a zero

Matriz triangula superior. Matriz quadrada em que os elementos localizados abaixo da diagonal principal são nulos.

Matriz triangular inferior. Matriz quadrada em que os elementos localizados acima da diagonal principal são nulos.

Etapa 2: Matrizes e Determinantes

• Passo 1. O estudo feito nos deu muitas idéias sobre determinantes, pois sua definição é : Determinante é um tipo de matriz, mas essa deverá ter o mesmo numero de linhas e o mesmo número de colunas que é chamada de matriz quadrada.

• Passo 2.

Matriz de ordem 2 x 2. 5 7

4 2 = 5 x 2 – 7 x 4 = -18

Matriz de ordem 3 x 3 2 5 7

3 1 4 = 2 1 4 - 5 3 4 + 7 3 10

6 8 2 8 2 6 2 6 8

= 2(1 x 2 – 4 x 8) -5 (3 x 2 – 4 x 6 ) +7 (3 x 8 – 1 x 6)

= -60 + 90 + 126

detA = 156.

• Passo 3.

1ª propriedade. Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

2ª propriedade. Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

3ª propriedade. Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.

4ª propriedade. Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 *det P

5ª propriedade. Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

det (k*A) = kn * det A

6ª propriedade. O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).

det R = ps – qr

det Rt = ps - rq

7ª propriedade. Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.

8ª propriedade. O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.

Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade. Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.

10ª propriedade. Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.

Etapa 3: Sistemas de Equações Lineares

• Passo 2 – Equação Linear e uma equação de forma ax1 + ax2 + ax3 +...+ anxn = b , na qual x1, x2, x3, ... ,xn são variáveis; a1, a2, a3, ... , an, são os respectivos coeficientes da variável, e b é o termo independente.

Solução de uma equação linear são os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade.

• Sistema de Equações Lineares:

Solução de um sistema linear são os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema linear em identidade.

Etapa 4: Sistemas de Equações Lineares.

• Passo 1 - 8i1 – 4i2 – 2i3 = 10

– 4i1 + 10i2 – 2i3 = 0

– 2i1 – 2i2 + 10i3 = 8

• Passo