Calculo II

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Atividade Prática Supervisionada

Cálculo II

2º SEMESTRE

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Atividade Prática Supervisionada

Cálculo II

2º SEMESTRE

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Atividade Prática Supervisionada

Cálculo II

2º SEMESTRE

ATPS CALCULO II

Atividade para aproveitamento parcial na disciplina de calculo II, sob orientação do Professor Jairo.

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INTRODUÇÃO

Neste trabalho o grupo irá estudar o conceito de Derivadas e Regras de Derivação, onde conheceremos e aplicaremos Constante de Euler, Regra da Cadeia, Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas, Derivadas Trigonométricas, Aplicações de Derivadas, aplicando, entendendo onde e como a matemática se encaixa na música.

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Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação

Passo1

O que é a Constante de Euler?

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮. A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim : em que E(x) é a parte inteira de x.]

Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito. n ℮=lim→∞ 1+1 n 1+1

Conforme tabela abaixo:

	℮ = lim (1+1)n       n⇾∞      n
1	2
5	2,48832
10	2,59374246
50	2,691588029
100	2,704813829
500	2,715568521
1000	2,716923932
5000	2,71801005
10000	2,718145927
100000	2,718268237
1000000	2,718280469

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Passo 2

Série harmônica ( Matemática )

Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

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O nome harmônica é devido à semelhança com proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4.

Esta série diverge lentamente. A demonstração faz-se tendo em conta que a série

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é termo a termo maior que ou igual à série

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Curiosidades.

O fato de a série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios experimentais. Foram umas das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Como se vê, esses números são muito pequenos para indicar que a soma é divergente (tende a infinito). Mas não paremos por aqui. Suponha que exista um computador que pode fazer uma soma em 10−23 segundos, que é o tempo gasto pela luz para percorrer a distância igual ao diâmetro de um elétron. Tal computador seria o mais rápido do universo, pois a velocidade da luz é a máxima neste. Se tal computador fosse somar todas as partes que pudesse da série harmônica em um ano, teria somado 315.576x1025 termos; em mil anos 315.576x1028; e em um bilhão de anos 315.576x1034 termos!

Os resultados aproximados que obteríamos, em cada um dos casos, respectivamente seriam: 70,804 ; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse ligado desde a origem do universo, há cerca de 15 bilhões de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 94,235 para a soma da série harmônica. Vamos além! O número 1080 é maior que todos os valores anteriores, superando até a quantidade de átomos do universo conhecido. Pois bem, para essa quantidade de termos a soma de todos eles é aproximadamente: 184,784 e permanece nesse mesmo valor aumentando-se drasticamente a quantidade de termos, como 1080 + 109 ou 1080 + 1012. Veja que a cada passo estamos aumentando enormemente a quantidade de termos, no entanto, a soma Sn permanece a mesma. Em vista disso nada mais natural do que concluir que a série seja convergente. Mas, como sabemos, isso é falso. Vemos então que jamais descobriríamos a divergência da série harmônica por meios puramente experimentais. Como se chega então aos números 94,235 ou 184,784, se, para obtê-los, o idealizado computador mais rápido do universo deveria ficar ligado durante 15 bilhões de anos? Sim, essa é uma pergunta interessante e muito pertinente. Realmente, nenhum computador consegue fazer a soma Sn dos termos da série diretamente para valores muito grandes. Mas é possível substituir essa soma por uma expressão matemática que aproxime Sn e que possa ser calculada numericamente; e os matemáticos sabem disso desde os tempos de Euler, há mais de 250 anos! Isso mostra ainda que devemos ter cuidado no uso do computador. Não podemos subestimá-lo. Ele não substitui a capacidade inventiva da mente humana, que só ela é capaz de intuir e criar uma demonstração como nenhuma máquina pode fazer.