Transformações Lineares: Autovalores e Autovetores

Fundação Universidade Regional de Blumenau – FURB

Centro de Ciências Tecnológicas – CCT

Departamento de Engenharia Química – DEQ

Engenharia de Alimentos

Álgebra Linear

Caroline Meinert

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

E

AUTOVALORES E AUTOVETORES

Blumenau, dezembro de 2015.

INTRODUÇÃO

A Álgebra Linear possui diversos conceitos matemáticos que correlacionam entre si. Como o caso das transformações lineares, valores e vetores próprios.

As transformações lineares são funções que representam o domínio e contradomínio de espaços vetoriais, e preserva a importante propriedade da soma e multiplicação por escalar. Possui vertentes complexas que vão desde a construção da regra à definição de núcleo e imagem.

Os autovalores e autovetores estuda o conhecimento dos valores e vetores próprios dentro de um espaço vetorial, ligado diretamente às transformações lineares.

É possível verificar suas definições e aplicações práticas, conforme apresentado.

TRANSFORMAÇÃO LINEAR

1.1. Definição

Transformação linear é uma função característica aplicada a espaços vetoriais, a qual preserva as operações de soma e produto por uma escalar. Estas regras podem ser combinadas em um requisito, conforme apresentado por STRANG, 2012, p.126.

Para todos os números c e d e todos os vetores x e y, a multiplicação de matrizes satisfaz a regra da linearidade:

[pic 1]

Toda transformação T(x) que atenda este requisito é uma transformação linear.

Descrevem de forma simples dependências entre variáveis de uma função.

1.2. Construção da Regra da Transformação

Paras dois espações vetoriais U e V, dizemos que uma aplicação  é linear, ou seja, forma uma transformação linear que obedece às condições:[pic 2]

I) Para quaisquer vetores v, w ∈ V, temos [pic 3]

II) Para qualquer escalar k e vetor v ∈ V, temos [pic 4]

Preservando a soma dos vetores e a multiplicação por escalar, as operações básicas de transformações lineares, temos que  é linear.[pic 5]

Ao substituirmos na segunda condição , obtemos , demonstrando que qualquer transformação linear leva o vetor nulo no vetor nulo.[pic 6][pic 7]

Para quaisquer escalares  e vetores , obtemos:[pic 8][pic 9]

[pic 10]

De maneira geral obtemos a propriedade básica das transformações lineares:

 [pic 11][pic 12]

Exemplo: Seja uma transformação  onde sua lei de formação é   e  e .[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Verificando a primeira condição da regra de formação:

[pic 19]

[pic 20]

Verificando a segunda condição da regra de formação: ([pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

1.3. Matriz de uma Transformação Linear

Toda matriz leva a uma transformação linear, de forma que as transformações não precisam ocorrer no mesmo espaço de  a . É possível transformar vetores de  em vetores em um espaço diferente . Por este motivo são utilizadas matrizes  x , onde o vetor original possui  elementos e o vetor transformado  possui elementos. “(...) Se conhecermos Ax para cada vetor de uma base, conheceremos Ax para cada vetor de um espaço inteiro.” (Strang, 2012, p.127). [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Exemplo: Seja o operador linear definido por . Encontre a representação matricial de F em relação à base .[pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

Resolvendo o sistema obtemos . Logo .[pic 41][pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Resolvendo o sistema obtemos . Logo .[pic 45][pic 46]

[pic 47]

1.4. Matriz Mudança de Base

Para a escolha de outra base na representação matricial temos que:

Seja P uma matriz de mudança de base de uma base S para uma base S’ em um espaço vetorial V. Então, para qualquer operador linear T em V,

[pic 48]

(LIPSCHUTZ, 1994, p. 494)

Expressando assim que A é uma matriz que representa T em uma base S, então  é a matriz que representa T em uma nova base S’, onde P constitui a matriz mudança de base S para S’.[pic 49]

Exemplo: Consideremos a seguinte base para , e consideremos o operador linear F em  definido por .[pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

Representando a mudança de base P de E para S:

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Então:  é a representação matricial de F em relação à base usual E. [pic 57]

[pic 58]