Algebrar Linear

 Algebra Linear - 2014:3 - Turma C - Prof. Magno

Lista 7

03/10/2014

1. Resolva os itens abaixo:

a. Mostre que se T : V 􀀀! W e transformac~ao linear ent~ao T



~0



= ~0.

b. Mostre que se T : V 􀀀! W e transformac~ao linear injetiva ent~ao KerT = f ~0g.

2. Mostre que se R : R2 􀀀! R2 e rotac~ao de  radianos em torno da origem, ent~ao

nas coordenadas (x; y) determinadas pela base can^onica, tem-se

R (x; y) = (cos 
x 􀀀 sin 
y; sin 
x + cos 
y) :

3. Seja Projr (x; y) a projec~ao ortogonal do ponto (x; y) sobre a reta r que passa pela

origem e tem vetor normal ~n = ~i +~j. Determine Projr (x; y), explicitamente, em

termos de x; y; ; .

4. Seja Rr (x; y) a re

ex~ao do ponto (x; y) sobre a reta r que passa pela origem e tem

vetor normal ~n = ~i + ~j. Mostre que

(x; y) + Rr (x; y) = 2Projr (x; y) :

Use isto e o resultado do exerccio anterior para determinar, explicitamente, Rr (x; y)

em termos de x; y; ; :

5. Generalize os dois ultimos exerccios para a projec~ao ortogonal e a re

ex~ao do ponto

(x; y; z) 2 R3 sobre o/com relac~ao ao plano que passa pela origem (0; 0; 0) e tem

vetor normal ~n = ~i + ~j +

~k.

6. Resolva os itens abaixo:

a. Mostre que se T : R 􀀀! Rn e transformac~ao linear ent~ao existe vetor ~v0 2 Rn

tal que

T (x) = x~v0; x 2 R:

b. Mostre que se T : Rn 􀀀! R e transformac~ao linear ent~ao existe vetor ~v0 2 Rn

tal que

T (~x) = ~x
~v0; ~x = (x1;


; xn) 2 Rn:

(Aqui,
representa produto escalar entre vetores.)

7. Mostre que se T : V 􀀀! V e linear e se  = fv1;


; vng e  = fw1;


;wmg s~ao

bases ordenadas de V ent~ao

[T] = [I]


[T]
[I]

 :

1

8. Mostre que se  = fe1;


; eng e a base can^onica de Rn e se  = fv1;


; vng e

base ortonormal de Rn ent~ao

[I]

 =



[I]



t

;

onde t indica a transposta da matriz.

9. No exerccio 7, suponha que V = R3, que T seja projec~ao ortogonal sobre o plano

, que passa pela origem, e que  = f~i;~j;~kg seja a base can^onica e, ainda, que

 = fa1~i + a2~j + a3~k; b1~i + b2~j + b3~k; c1~i + c2~j + c3~kg seja base ortonormal de R3

tal que os dois primeiros vetores da mesma pertencem ao plano . Determine [T],

explicitamente. (Dica: Exerccio 8.)

10. Mostre que se S : R3 􀀀! R3 e a re

ex~ao com respeito ao plano , do exerccio

anterior, ent~ao vale a igualdade

S + I = 2T;

onde I : R3 􀀀! R3 e a aplicac~ao identidade denida por

I (v) = v; 8v 2 R3:

Use a igualdade S + I = 2T e o resultado do exerccio anterior para obter a matriz

de S na base ordenada  de R3 denida naquele exerccio.

11. Seja R : R2 􀀀! R2 uma rotac~ao no plano de  radianos, em torno da origem.

Mostre que se  e a base can^onica de R2 e se  e uma base ortonormal de R2 ent~ao

[R] = [R].

12. Seja  um plano contido em/ passando pela origem de R3 e seja R; :  􀀀!  a

transformac~ao linear que, a cada v 2 , associa o vetor R (v) 2 , obtido atraves

da rotac~ao de v de um ^angulo de  radianos em torno da origem. Seja  uma base

ordenada ortonormal de . Determine [R;].

13. Seja e um eixo, isto e, uma reta de R3 que passa pela origem e seja  o plano que

passa pela origem de R3 e e ortogonal ao eixo e. Mostre que todo vetor v 2 R3

escreve-se de maneira unica como

v =