As Secções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da Matemática

UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

ENGENHARIA ELÉTRICA

TRABALHO SOBRE CÔNICAS

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

SEGUNDA NOTURNO

EDUARDO RODRIGUES DA SILVA CARVALHO

PROFESSOR: THIAGO WEINGARTEN

Canoas, dezembro de 2016.

1 - Introdução

As Secções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da Matemática. Suas definições, equações e gráficos são utilizados em vários conteúdos do

Cálculo Integral, além de serem muitas as aplicações das cônicas na história das sociedades.

Desde que o matemático grego Apolônio escreveu o primeiro trabalho sobre as

Secções Cônicas, diversos matemáticos de renome contribuíram de maneira significativa no entendimento dessas curvas e suas aplicações nos mais diversos assuntos.

Este presente trabalho tem por objetivo fazer um estudo sistemático das secções

cônicas, onde serão abordadas suas definições, equações, propriedades de reflexão e caracterizações.

2 – Secções Cônicas

2.1 – Definições

Inicialmente vamos abordar as definições das secções cônicas (parábola, elipse e hipérbole) como sendo lugares geométricos em um plano fixado, são as curvas geradas ou encontradas, na intersecção de um plano que atravessa um cone.

Numa superfície afunilada, existem três tipos de cortes que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na:

Elipse, que é a cónica definida na interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone;

Parábola, que é a cónica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone;

Hipérbole, que é a cónica definida na interseção de um plano que penetra num cone em paralelo ao seu eixo.

3 – Circunferência

3.1 – Definições

A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano, que estão a uma mesma distância de um determinado ponto, chamado centro. Essa distância é denominada raio r da circunferência.

3.2 – Elementos da parábola e representação gráfica

[pic 1]

O comprimento C de uma circunferência de raio r pode ser determinado retificando-se a circunferência:

[pic 2]

[pic 3]

3.3 - Equação da circunferência com centro na origem e representação gráfica

[pic 4][pic 5]

3.4 - Exemplos 1, 2 e 3:

4 – A Parábola

4.1 – Definições

Parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém esta.

Equivalentemente, uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz).

4.2 – Elementos da Parábola e representação gráfica

[pic 6]

4.3 – Equações da parábola com vértice na origem e representação gráfica

Seja dada uma parábola de reta diretriz d e foco F. Escolhemos o eixo y perpendicular à diretriz e contendo o foco. A origem é tomada como o ponto médio sobre o eixo dos y entre o foco e a diretriz. Observa-se que os eixos (não a parábola) estão sendo escolhidos de uma maneira particular. Neste sistema de coordenadas o foco é o ponto F(0, p), e a diretriz é a reta horizontal de equação y = – p. Um ponto P(x, y) está na parábola se e somente se P for equidistante de F e da diretriz.

[pic 7]

4.4 - Exemplos 1, 2 e 3:

5 – Elipse

5.1 – Definições de elipse

Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersecte as duas folhas do cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse.

5.2 – Elementos da Elipse e representação gráfica

Os elementos principais da elipse são:

F1 e F2 são focos;

O é o centro;

A1A2 formam o eixo maior;

B1B2 formam o eixo menor;

2c é a distância focal;

2a é a medida do eixo maior;