Teoria das Probabilidade

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APOSTILA DA 2ª UNIDADE

TEORIA DAS PROBABILIDADES

TEORIA DAS PROBABILIDADES

1. INTRODUÇÃO

A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da “causa e efeito”. Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a uma falha na experiência ou a uma falha na identificação da causa. Não poderia haver quebra da cadeia lógica. Segundo Laplace (Pierre Simon) uma vez conhecidas a vizinhança, a velocidade e a direção de cada átomo no universo, poder-se-ia, a partir daí, predizer com certeza, o futuro até a eternidade.

Sabe-se hoje, através do princípio da incerteza , que não é bem assim. Que não existem meios que permitam determinar os movimentos dos elétrons individuais se conhecido a sua velocidade, conforme o estabelecido em 1927, pelo físico alemão W. Heinsenberg.

1. Definições

Toda a vez que se emprega Matemática com a finalidade de estudar algum fenômeno deve-se começar por construir um modelo matemático. Este modelo pode ser: determinístico ou então probabilístico.

• Modelos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas. Temos com exemplos, se tomarmos um determinado sólido, sabemos que uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido.

• Modelos probabilísticos ou aleatórios são aqueles que os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno. É utilizado quando se tem um grande número de variáveis influenciando o resultado e estas variáveis não podem ser controladas. Tome-se por exemplo, o lançamento de um dado onde se tenta prever o número da face que irá sair, a retirada de uma carta de um baralho, etc.Exemplos:

 Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujo resultado, mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro. Estes fenômenos são chamados de aleatórios e para explicá-los adota-se um modelo matemático probabilístico. Neste caso, o modelo utilizado será o cálculo das probabilidades.

1.2 EXPERIMENTO ALEATÓRIO (NÃO-DETERMINÍSTICO) - (E)

Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Por isto é necessário ilustrar o conceito um grande número de vezes para que a idéia fique bem clara. Convém lembrar que os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelos probabilísticos são adequados e que por simplicidade, são denominados de experimentos aleatórios, quando, de fato, o que deveria ser dito é “modelo

não-determinístico aplicado a um experimento”.

CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO

        A fim de se entender melhor a caracterização desses experimentos, convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos:

E1 : Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu "naipe".

E2 : Jogar uma moeda dez vezes e observar o número de caras obtidas.

E3 : Retirar com  ou sem reposição, uma bola de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6 pretas.

E4 : Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.

E5 : Jogar uma moeda quatro vezes e observar a seqüência de caras e coroas.

E 6: Uma asa de avião é fixada por um grande número de rebites. Conte o número de rebites defeituosos.

E7: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição da peça retirada) até que a última peça defeituosa seja encontrada. O número total de peças retiradas do lote é contado.

E8: Peças são fabricadas até que dez peças perfeitas sejam produzidas. O número total de peças fabricado é contado;

E9: Determinação da vida útil de um componente eletrônico.

• Características dos experimentos aleatórios

Observando-se os exemplos acima pode-se destacar algumas características comuns:

1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições;

2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os resultados possíveis;

3. Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento.

ALGUMAS DEFINIÇÕES

1. O ESPAÇO AMOSTRAL (S)

Definição:  É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Anota-se por S, E ou Ω.

Exemplo: Em um lançamento de um dado, o espaço amostral é: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

1. Classificação do Espaço Amostral

Um espaço amostral, conforme exemplos anteriores pode ser classificado em:

(a) Finito. São os espaços: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

(b) Infinitos. (i) Enumeráveis (ou contáveis): S={1, 2, 3, 4, 5 ....}

                     (ii) Não-enumeráveis (ou não contáveis): S= {t ε R / t ≥ 0}

1. EVENTOS

Definição: Qualquer subconjunto de um espaço amostral S é denominado evento.

      Utilizamos letras maiúsculas para representar os eventos.

Exemplo: Lançamento de duas moeda