A Combinação Linear

COMBINAÇÃO LINEAR

                Uma expressão da forma a1u1 + a2u2+ . . . +anun = w, onde a1, a2, . . . ,an  são escalares e u1, u2, . . .,un e w, vetores do ℜn  chama-se combinação linear.

                Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), v1, v2,...,vn ∈ V e a1,...,an, números ℜ (ou complexos).

                Então o vetor [pic 1] é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de v1,...,vn.

                W = [ v1,...,vn] é chamado subespaço quando por v1,...,vn.

                Por exemplo, os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e  e3 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial R3, pois qualquer vetor (a, b, c) ∈ R3 pode ser escrito como combinação linear dos ei, especificamente:

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

                Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.

Exemplos.:

1. Sejam [pic 2] e os escalares a1 = 2 e a2 = -1. Podemos encontrar um vetor [pic 3]= (x, y) que seja combinação linear de [pic 4]

   [pic 5](x, y) = 2.(3, 1) + (-1).(2, 4) = (4, -2) = [pic 6]

1. Sejam os vetores [pic 7]= (1, -3, 2) e [pic 8]= (2, 4, -1).

O vetor [pic 9]= (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação linear de [pic 10].

(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)

[pic 11]

COMBINAÇÕES LINEARES E SUBESPAÇOS GERADOS

                Seja um vetor espaço vetorial. Considere um subconjunto [pic 12]⊂ V, com A ≠ φ. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. O subespaço diz-se gerado por  [pic 13] Ou seja:

S = G (A) ou [pic 14]

                Os vetores v1,...vn são chamados geradores de S e A é o conjunto gerador.

Exercícios:

1. Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o espaço vetorial ℜ2, pois qualquer (x, y) ∈ ℜ é combinação linear de i e j.

(x, y ) = x.(1, 0) + y.(0, 1) = (x, y)

    [ i, j ] = ℜ2

1. Os vetores [pic 15]=(1, 0, 0), [pic 16] =(0, 1, 0) e [pic 17] =(0, 0, 1) geram o espaço vetorial ℜ3.

(x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1)

Obs.: i, j e k são chamados de vetores unitários, e também podem ser representados por e1, e2, e3.

1. Seja V = ℜ3. Determinar o subespaço gerado por v1 = (2, 1, 3).

[ v1 ] = { (x, y, z) ∈ ℜ2 / (x, y, z) = a.(2, 1, 3), a ∈ ℜ }

[pic 18]

Obs.: O subespaço gerado por um vetor v, ∈ ℜ3, v1 ≠ 0, é uma reta que passa pela origem.

1. Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = { (1, 0, 0) , (0, 0, 1) }.

  [pic 19](x, y, z) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 0, 1).

 (x, y, z) = (a1, 0, 0) + (0, 0, a2) = (a1, 0, a2)   ∴  x = a1

                                                                            y = 0

                                                                            z = a2

S = { (x, y, z) ∈ ℜ3 / y = 0 }

S = { (x, o, z) ∈ ℜ3 / x, z ∈ℜ }

Obs.: S é o plano xz

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Definição. Seja V um espaço vetorial e  V. Dizemos que o conjunto A={} é linearmente independente (LI) ou os vetores são L.I. se a equação:  ℜ implica que .

                No caso em que exista algum  é linearmente dependente (LD) ou que os vetores  v1, v2, ... , vn  são L.D.