A Teoria de Probabilidade

Indice

Introdução        

Objectivos        

Objectivo Geral        

Objectivos Especificos        

Historia da teoria de Probabilidade        

Teoria de probabilidade        

Definição Clássica De Probabilidade (Laplace)        

Definição freqüencista de probabilidade:        

Definição Axiomática De Probabilidade (Kolmogorov)        

Principio Fundamental da Contagem        

Factorial        

Arranjos        

Combinações        

Conclusão        

Referencias Bibliograficas        

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Introdução

O presente trabalho ira se abordar acerca de teoria de probabilidade. Dentro da teoria de probalidade iram se destacar alguns subtitulos tais como definicao classica, frequencista e axiomatica de probabilidade.

E ira se abordar tambem sobre fatorial, arranjos e combinacoes. E dentro do capitulo de teoria de probabilidade tambem estara la presente um subtitulo chamado de principio da contagem.

O trabalho esta organizado ou formatado em seguintes aspectos: objectivos, historia, teoria de probabilidade (desenvolvimento), conclusao e referencia bibliografica.

Objectivos

Objectivo Geral

• Obter, organizar e analisar dados estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de determinar possíveis correlações e nexos causais.

Objectivos Especificos

• Explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto experimentais.
• Possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.

Historia da teoria de Probabilidade

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

Teoria de probabilidade

Experimento Aleatorio

Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes.

Exemplos:

1. Resultado no lançamento de um dado;
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;
3. Condições climáticas do próximo domingo;
4. Taxa de inflação do próximo mês;
5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.

Espaço Amostral (Ω)

Espaço Amostral (Ω): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplos:

1. Lançamento de um dado.

    Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .

    Ω = {A, B, AB, O}

3. Hábito de fumar.

    Ω = {Fumante, Não fumante}

4. Tempo de duração de uma lâmpada.

    Ω = {t: t ≥ 0}

Eventos

Eventos: subconjuntos do espaço amostral Ω 

Notação: A, B, C ...

∅ (conjunto vazio): evento impossível

Ω: evento certo

Exemplo:  Lançamento de um dado.

 Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Alguns eventos:

A: sair face par                     A = {2, 4, 6} ⊂ Ω 

B: sair face maior que 3      B = {4, 5, 6} ⊂ Ω 

C: sair face 1                        C = {1} ⊂ Ω 

Operações com eventos

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

• A ∪ B: união dos eventos A e B.

Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B.

• A ∩ B: interseção dos eventos A e B.

Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é: A ∩ B = ∅.
• A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é: A ∩ B = ∅     e     A ∪ B = Ω.
• O complementar de A é representado por Ac.

Exemplo: Lançamento de um dado

• = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:   A = {2, 4, 6},   B = {4, 5, 6}  e  C = {1}

• Sair uma face par e maior que 3

A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 6}  

• Sair uma face par e face 1

A ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {1} = ∅ 

• Sair uma face par ou  maior que 3

A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

• Sair uma face par ou face 1

A ∪ C = {2, 4, 6} ∪ {1} = {1, 2, 4, 6}

• Não sair face par

AC = {1, 3, 5              

Eventos Mutuamentes Exclusivos

Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, [pic 1]

Exemplo:

E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorre número par – A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5}

                  ; [pic 2]

logo,  A e B são mutuamente exclusivos,  pois a ocorrência de um número que seja par e ímpar não  pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.